HPM視角下的余弦定理教學案例

孔祥文 李 嵐

數學史展現了不同方法的成敗得失，今人可以從中汲取思想養料，少走彎路，獲取最佳的教學方法。所以，如何將數學史融入數學教學，已經成為中學數學教師日益關注的一個課題，也是HPM（數學史與數學關系）研究領域的一個重要方向。下面就以HPM視角下余弦定理的設計和實施為例，闡述HPM視角下數學教學的設計方法，幫助學生理解數學和數學活動的本質，加強學生的學習動機。

一、教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握余弦定理的內容及其證明方法；能運用余弦定理解決一些簡單的解三角形問題。

過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發，探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、推導、比較，歸納出余弦定理，并對定理的證明進行實踐操作。

情感態度價值觀：在HPM視域下，引導學生體驗知識的形成過程，提高學生發現數學規律的能力。

二、教學重點和難點

教學重點：余弦定理的探索和證明。

教學難點：余弦定理的應用。

三、教學過程

1.導入

上次課中我們學習了正弦定理，正弦定理的內容是什么？正弦定理解決了哪兩類問題？如果知道兩邊和它們的夾角計算另一邊和另兩個角的問題，正弦定理還能夠解決嗎？這就是我們今天要學習的余弦定理。

2.新課講解

下面我們來看如何用兩邊和它們的夾角計算另一邊和另兩個角的問題，由于涉及邊長問題，我們是否可以考慮用向量的數量積，或用解析幾何中的兩點間距離公式來研究這個問題呢？

同理可證明：a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.

得出如下結論：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC。

余弦定理是作為勾股定理的推廣而誕生的，公元前3世紀，歐幾里得在《幾何原體》第2卷分別給出鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關系（Heath，1968，403-409）：

命題II.12：在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方形面積大于兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向對邊延長線作垂線，垂足到原銳角（頂點）之間的一段所構成。

命題II.13：在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于該銳角兩邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由另一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向對邊作垂線，垂足到原銳角（頂點）之間的一段所構成。

命題II.12.相當于說，在圖2所示鈍角三角形∨ABC中，

a2=b2+c2+2cm（a為鈍角對邊）。

命題II.13.相當于說，在圖3所示銳角三角形∨ABC中，

a2=b2+c2-2cm（a為銳角對邊）。其中等式（2）對于鈍角三角形中的銳角對邊也是成立的。

歐幾里得利用勾股定理對上述命題進行證明。如圖2和3所示，由勾股定理分別得:a2=h2+(c+m)2=h2+m2+c2=2cm=b2+c2+2cm，a2=h2+(c+m)2=h2+m2+c2=2cm=b2+c2-2cm。

第一種情形，m=-bcosA，第二種情形，m=bcosA，代入相應等式，即得我們熟悉的三角形式的余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA。

教師應該注意創設情境，從具體事實出發，為學生展示數學知識的發現過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經歷數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈。實踐表明，采用HPM的余弦定理教學案例，能有效激發學生的學習興趣，得到了學生的普遍認同。