微積分教學中學生易混淆的幾個概念

【摘要】微積分中極限、連續、導數這些基本概念既有區別又有聯系，學生在學習過程中有一定困難，常常混淆它們的區別與聯系。本文對極限、連續、導數這些基本概念的區別與聯系進行分析總結，使概念之間的內在聯系更加清晰，從而使學生對這些基本概念有更深入的理解與認識。

【關鍵詞】極限 連續 導數 概念的區別與聯系 幾何解釋

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）01-0297-02

微積分是高校經管類專業一門專業基礎課程，對后續數學課程和專業課程的學習有著直接的影響，同時對學生考研或深造也起著重要作用.在微積分教學中，由于經管類學生大部分是文科生，數學基礎薄弱，同時微積分課程具有抽象性、嚴謹性、邏輯性的特點，因此學生在學習過程中通常會遇到困難，容易混淆函數的極限、連續、導數等基本概念.本文通過分析總結函數的極限、連續、導數等基本概念的區別與聯系，使概念之間的內在聯系更加清晰，從而使學生對這些基本概念有更深入的理解與認識，為學習多元函數基本概念打下良好的基礎.

一、函數的極限、連續、導數概念

函數是微積分的主要研究對象，極限概念是微積分的理論基礎，極限方法是微積分的基本分析方法.因此，掌握、運用好極限方法是學好微積分的關鍵.

1.函數的極限

設函數在點的某去心鄰域內有定義，為常數.如果給定任意小的正數，總存在正數，使得當時，恒有，則稱常數為函數當趨向于時的極限。

記作：

或。

注：函數的極限是研究當自變量在某個變化過程中函數的變化趨勢.函數極限與在點處是否有定義無關，但與任意給定的正數有關[1]28-30。

2.函數的連續

設函數在點的某一鄰域內有定義.如果當自變量的增量趨于零時，函數對應的增量也趨于零，即：

或，

那么就稱函數在點處連續，稱為的連續點。

注：由上述定義可知，函數在一點連續的本質特征是：自變量變化很小時，對應的函數值的變化也很小。

設函數在點的某一鄰域內有定義。如果函數當時的極限存在，且等于它在點處的函數值，即，那么就稱函數在點處連續。

上述定義表明，函數在某點連續與函數在某點的極限，既有聯系，又有區別.函數在某點的極限存在不能保證在該點連續，同時要求極限值等于該點函數值，才能保證在該點連續[2]68-69。

3.函數的導數

設在點的某個鄰域內有定義，當自變量在處有增量，相應地，函數取得增量，如果時，極限：

導數概念是以極限概念為基礎而建立的新概念，它與極限有一定聯系但又不同于極限.導數描述的是函數變化率問題，它反映了函數隨自變量變化而變化的快慢程度，具體來講就是當自變量增量趨于零時，函數增量與自變量增量之比的極限[2]85-89。

由連續與導數的定義可知，在點處可導，則它在處連續；函數在某點連續，但在該點不一定可導。

在學習微積分課程時，學生常常不能深入理解導數研究的問題以及導數的本質，將函數極限、連續與導數概念混淆在一起.函數在某點的極限存在不能保證在該點連續；函數在某點連續不能保證在該點一定可導.函數在某點可導要求條件最高，其次函數在某點連續，最后函數在某點的極限存在要求條件最低。

二、左、右極限，左、右連續，左、右導數

1.左、右極限

函數在處可導的充分必要條件是函數在處的左、右導數均存在且相等[3]81-83。

從以上定義可知，函數在某點左、右極限存在不能保證函數在某點左、右連續，函數在某點左、右連續不能保證函數在某點左、右導數存在.學生常常把左、右極限與左、右連續混淆，不能很好的掌握左、右極限與左、右連續的區別和聯系，對左、右導數理解的不透徹。

三、函數的極限、連續、導數的幾何解釋

1.函數極限的幾何解釋

任意給定一正數，作平行于軸的兩條直線和 .根據定義，對于任意給定的正數（不論多么小），存在點的一個去心鄰域，當的圖形上的點的橫坐標落在該鄰域內時，這些點對應的縱坐標落在帶形區域內。

2.函數連續的幾何解釋

若函數連續，則曲線的圖形是一條連續不間斷的曲線.

3.導數的幾何解釋

若函數在處可導，則就是曲線在點處的切線的斜率，即，

其中是切線的傾角[1]79-80。

極限、連續、導數是微積分中最基本的概念，也是學生必須熟練掌握的概念.通過以上這些概念的分析與總結，進一步強化了概念之間的內在聯系，使學生對極限、連續、導數概念及其內在聯系有更深入的理解與認識。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007：28-30，79-80.

[2]吳贛昌.微積分（經管類第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011：68-69，85-89.

[3]龔德恩，范培華.微積分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2008：63-64，81-83.

作者簡介：

李娜（1984-），女，河南商丘人，理學碩士，講師，主要從事微分方程數值解研究。