淺談最優化方法在數學建模競賽與教學中的運用

陳永 張安 李煒

摘要：本文介紹了最優化理論與方法，以全國大學生（本科組）、研究生數學建模競賽歷年試題為樣本進行了統計分析。結果表明，最優化理論與方法已滲透和融入數學建模競賽并在其中發揮了舉足輕重的作用，最優化理論與方法對優化數學建模課堂教學、進一步提高學生在數學建模競賽中的成績具有重要的指導意義。

關鍵詞：最優化方法；學科競賽；數學建模；創新精神

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）23-0109-03

全國大學生數學建模競賽是由中國工業與應用數學學會受原國家教委高教司委托于1992年發起的全國大學生四大賽事之一，該賽事是面向全國高等院校本專科大學生的群眾性科技競賽活動，旨在“培養學生的創新意識和團隊精神”，是對學生綜合能力、綜合素質、創新意識的真正考驗和提高，目前已成為全國高校規模最大的基礎性學科競賽[1，2]。全國研究生數學建模競賽是教育部學位與研究生教育發展中心主辦的“中國研究生創新實踐系列大賽”9大主題賽事之一，該賽事起源于2003年東南大學發起并成功主辦的“南京及周邊地區高校研究生數學建模競賽”，該賽事是面向全國在讀研究生的科技競賽活動，目的在于激發研究生群體的學習興趣和創新活力，提高研究生構建數學模型及運用計算機計算求解大規模實際問題的綜合能力，培養團隊協作意識，促使研究生中優秀人才的脫穎而出，進而推動研究生教育改革[1，2]。

一、最優化方法與數學建模競賽

最優化理論與方法主要研究人們對多種資源的運用及籌劃活動，以期通過了解和發現這種運用及籌劃活動的基本規律，發揮有限資源（約束）的最大效益，達到總體最優或者近似最優的目標（目標函數）[3]。經過幾十年的發展，最優化理論與方法已經逐步形成了一套系統的研究和解決問題的方法，大體可以概括為以下幾個部分：（1）建立所研究問題的數學模型，將一個實際問題轉化為一個最優化問題；（2）分析問題（最優）解的性質和求解的難易程度，探求合適的求解方法；（3）設計相應問題的求解算法，并對算法的性能進行理論分析；（4）通過計算機編程實現算法，并分析模擬數值結果；（5）判斷模型和解法的有效性，提出解決原始問題的最優方案。線性與整數規劃、圖論與網絡優化、非線性規劃、多目標規劃、動態規劃、隨機規劃、對策論、隨機模擬等是最優化理論與方法常見的分支，計算機及相關軟件的普及更易于人們應用最優化的理論和方法解決實際問題，從而大大地推動了該學科進一步向綜合性、實用性和即時性等方面發展[4，5]。

我們對歷年全國大學生數學建模競賽（本科組）和全國研究生數學建模競賽的試題進行了統計分析（見表1），統計結果顯示：截至2017年，全國大學生數學建模競賽本科生組共52道賽題，其中涉及最優化理論與方法的題目有28道，占比54%；全國研究生數學建模競賽共64道賽題，其中涉及最優化理論與方法的題目有28道，占比44%。以上統計結果表明最優化理論與方法已滲透和融入數學建模競賽并在其中發揮了舉足輕重的作用。例如，2013年全國大學生數學建模競賽本科生組的“碎紙片的拼接復原”一題可以借鑒圖論中的哈密爾頓路等有關概念，提出基于旅行售貨商問題的拼接方案；2015年全國大學生數學建模競賽本科生組的“‘互聯網+時代的出租車資源配置”一題，可以運用排隊論模型分析打車軟件的出現對人們出行的影響，運用博弈論中的納什均衡理論探討補貼方案的合理性；2016年全國研究生數學建模競賽A題“多無人機協同任務規劃”中關于無人機協同任務分配問題可以構建一個多目標整數規劃模型；2017年全國研究生數學建模競賽C題“航班恢復問題”，題目介紹中已明確指出該問題的數學模型就是一個典型的混合整數規劃模型。隨著運籌學在現代企業管理生產中的逐步應用，最優化理念越發深入人心，最優化理論與方法在數學建模競賽中占比有逐漸增大的趨勢。

此外，從歷年競賽試題的發展變化角度來看，數模競賽逐漸呈現出以下特點：（1）賽題所提供的數據開始多維化，數據量不斷增大，如何分析和處理大數據對參賽隊員提出了新的挑戰，無論是降維處理還是數據挖掘都嚴重依賴隊員的計算機編程能力。（2）數學模型越來越呈現出多樣性和開放性，其一表現在多種解題方法的創造性與靈活性、傳統算法和各類現代算法的融合及求解結果的不唯一性，其二表現在對模型假設和數據處理上，即數學建模競賽越發呈現出綜合性、實用性、創新性、即時性等特點，而這正是現代最優化理論與方法發展的一個新趨勢。

二、最優化方法與數學建模課堂教學

目前，在大多數高等院校，數學建模已成為理工科、經管類專業的一門專業必修課或者公共選修課。通常來講，數學建模課堂授課內容主要包括最優化理論與方法、微分方程與差分方程、數理統計和數學實驗等四方面的知識[6]。數學建模課不再是傳統意義上的數學課，如仍采用“教師講、學生聽、做題、考試”這套傳統的數學基礎課教學方法，則達不到開設數學建模課的目的，這就需要任課教師嘗試不同以往的教學方法和教學手段。如果我們把數學建模課堂教學看作一個最優化問題，那么通常課堂教學可描述為如何在有限的時間內讓學生掌握或者了解盡可能多的新知識。這里，掌握或者了解盡可能多的新知識就是我們任課教師的目標函數，而有限的時間就是約束函數，當然有時還伴隨著學生提問、師生互動等新的約束函數。借鑒一般求解最優化問題的方法和思路，我們就可以提煉出優化數學建模課堂教學的以下幾點建議[7]。

1.針對不同專業、不同課程性質開展分層次教學。首先，根據不同專業學生的需要，結合各學院各專業對數學建模課不同性質的要求，開展主要以普及數學建模基本知識和提高學生利用數學方法解決實際問題能力為目標的基礎層次教學。通過該層次的教學，力爭使學生能在相對較短的時間內，充分掌握數學建模的基礎知識和基本方法，了解多種經典數學模型，從而使學生初步具有一定的數學建模能力，并建立若干簡單的數學模型，這是學生數學建模能力培養的基礎階段。接著，開展以“數學建模競賽”為突破口，展示學生綜合素養為目的的高層級教學，該階段主要培養學生對實際問題的洞察力、理解力和抽象能力，建立相對復雜數學模型、利用計算機編制程序進行計算和對求解結果的分析與評價，從而有效地解決實際問題。這一層次的教學可以以數學建模競賽集訓的形式展開，也可以結合輔導教師的科研項目、學生畢業論文等形式進行。

2.課堂教學中多以案例教學法為主進行啟發式教學。高等數學、線性代數、概率論和數理統計等數學基礎課通常采用“教師講、學生聽、做題、考試”等常規教學模式。由于數學建模具有綜合性強、信息量大和問題結構復雜等特點，因此以實際生活中的問題（即具體案例）作為教學內容，介紹建模示例和數學建模的全過程，使得學生充分了解案例教學法是最能體現數學建模特點和目的的教學方法。首先，在案例選取上應兼顧趣味性、仿真性及代表性，趣味性能增強學生的學習興趣，仿真性能使學生理解數學建模的真實性和實用性，而代表性案例最容易被學生接受。其次，在講授具體案例時，即要講清問題的背景、建模要求和已有信息，又要分析如何利用求解結果檢驗模型，同時對求解算法或者方法的具體步驟適當從簡。案例教學法通過引入生動的啟發性案例達到重視思想方法及分析問題、解決問題的綜合能力培養，改變了以往只重視理論推導、計算技巧的觀念。

3.課堂中在學生討論、師生互動環節多采用分組討論模式。任課教師首先把案例的背景知識、關鍵因素（目標、約束條件及合理假設）、所需的數學工具等講授清楚，而如何進行合理假設、運用哪些數學知識進行分析、如何建立數學模型等可以進行分組討論（例如，讓3—5位學生形成一個小組），這樣可以充分提高學生的學習主動性和學習興趣，使講堂變成討論堂，從而達到培養學生綜合素質的目的。經學生在各自小組內進行討論之后，每組推薦一位小組成員在課堂上進行口頭報告，報告內容可以為該小組的集體意見和觀點，也可以是小組中的不同聲音或疑惑，此時教師的主要任務是記錄并提出相關問題，最后讓學生寫出簡單的書面報告。分組式集中討論，不僅使學生能夠深刻體會建立數學模型的整個過程及其重要作用，而且能夠培養和提高學生的口頭及書面表達（科技論文寫作）能力。當然，由于數學建模課教學時間有限、課程內容較多，每個學期類似的分組討論教學課時不宜太多，3次左右比較合適。

4.成績評定采用“模型大作業+期末開放式測評”相結合的形式。平時成績可以采取寫小論文的方法，針對最優化理論、微分方程與差分方程和數據統計與分析等三大方面的知識點，題目由教師出題和學生自己找題目相結合，每個學期每人提交3篇略簡短的數模論文。因為時間相對寬松，學生很希望做出自己較為理想的結果。由于開設數學建模課的主要目的是為了讓學生靈活運用已學過的數學知識去建立一個符合實際且能反映實際問題的數學模型，并通過計算機編程技術求解該數學模型以解決實際問題，因此期末考試可采取開放式測評（即只允許學生攜帶有關參考書籍資料等）的方法，而考試試題的設計主要本著考核學生掌握基本數學方法和構建簡單數學模型的原則。

三、總結

最優化理論與方法是討論在眾多的方案中什么樣的方案最優以及怎樣找出最優方案，它不僅在數學建模競賽中具有非常重要的作用，而且該方法對于優化數學建模課堂教學及其他課程教學具有良好的理論指導作用。文中所總結的建議是我們從事多年數學建模教學工作的寶貴經驗，也是我們根據最優化理論原理不斷優化數學建模課堂教學的心得體會。多年來，在我校數模組各位教師的努力下，我校學生在全國大學生數學建模競賽和全國研究生數學建模競賽中的成績喜人，總成績連續多年位居省屬高校前列。數學建模教學和競賽在培養具有綜合素養的人才方面起到了積極作用，同時是課堂教學改革的切入點和生長點。

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星.一項成功的高等教育改革實踐[J].中國高教研究，2011，（12）：79-84.

[2]李大潛.數學建模與素質教育[J].中國大學教學，2002，（10）：41-43.

[3]胡運權.運籌學教程[M].北京：清華大學出版社，2007.

[4]陳光亭，裘哲勇.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5]袁亞湘，孫文瑜.最優化理論與方法[M].科學出版社，1997.

[6]姜啟源，謝金星，葉俊，數學模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[7]葉其孝.把數學建模、數學實驗的思想和方法融入高等數學課的教學中去[J].工程數學學報，2003，（8）：3-10.