淺議解決高中數學抽象問題的實施策略

黃渝夏 葉小紅 李坤

摘 要：數學是一門抽象性的學科，要學好數學，要求學生具備良好的數學思維能力。剛進入高中階段的學生，數學思維以形象思維為主，實現由形象思維向抽象思維的轉化要以數學知識為載體，通過對高中數學概念的分析、命題的推理、規律的概括等達到訓練學生思維的目的。

關鍵詞：高中數學；抽象問題；解決策略

《數學辭海（第六卷）》認為，數學的抽象性來源于數學思維的邏輯嚴密性的要求，當研究對象的任何非本質的因素會妨礙邏輯思維時，數學就很自然地拋棄了非本質的因素。換句話說，數學思維是抽取數學對象的共同的、本質的屬性，舍棄非本質的屬性的思維過程。高中數學中，抽象問題的產生主要源于概念、命題以及規律，本文將有針對性的利用反例教學法、數形結合法、多媒體教學法對數學抽象問題加以分析和解答。

一、 反例教學法

美國數學家蓋爾鮑姆曾說：“數學是由‘證明和‘反例組成，而數學發現也是朝著‘提出證明和‘構造反例兩個主要目標進行的。”高中數學中，許多問題從正面推理難以攻破，需要在方法上借助構造反例對原問題加以證明，或者只有舉出反例，才更容易理解。反例需要學生的推理、假設、證明和驗證，不斷地嘗試錯誤從而達到真正的理解。反例教學法將復雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，很大程度上能夠幫助學生得到正確答案，培養學生舉一反三的能力。對反例的求解，實現對學生逆向思維的培養。

例如：在學習函數單調性時，多次強調函數的單調性是函數的局部性質。

比如說：函數y=1x在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上也是減函數，它有兩個單調區間，很多同學就認為函數y=1x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數。

對于這樣的錯誤，通常采取構造反例的方式加以解釋，對于任意的x1∈（-∞，0），x2∈（0，+∞），則x1

二、 數形結合法

高中數學研究的對象無非就是兩部分，一部分是數，另一部分是形。數與形是有關聯的，這個關聯稱之為數形結合。數形結合是解決函數問題、方程與不等式問題、解析幾何問題等的重要體現。我國著名數學家華羅庚曾說：“數形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛；數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事休。”數形結合法將抽象的數量關系、數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”讓抽象思維與形象思維發生碰撞，能夠將抽象的問題直觀化并且具有可操作性。

例如：（2017年高考新課標Ⅱ卷理數第5題）設x，y滿足約束條件2x+3y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0，則z=2x+y的最小值是（ ）

A. -15

B. -9

C. 1

D. 9

分析：關于二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題，需利用平面區域體現二元一次不等式（組）的解集，借助數學結合思想解決在線性約束條件下的二元線性目標函數的最值與最優解問題。

解：作出x，y所滿足的約束條件的可行域，如圖1中陰影部分ABC。

z=2x+y經過可行域的B點時，目標函數取得最小值，

由2x-3y+3=0y+3=0，解得B（-6，-3），

所以zmin=2×（-6）+（-3）=-15。

故選A。

三、 多媒體教學法

多媒體教學已經是中小學課堂教學的新常態。多媒體教學能夠激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，調動學生學習的積極性和主動性。特別是在有關幾何圖形內容教學中，通過使用色彩和動畫方式，將靜態的知識與動態的圖形結合起來，以直觀、形象的方式加以表達，能讓學生準確把握住對象變化的規律，從豐富的表象中體驗知識的形成過程。

例如：已知函數f（x）=|x2-2x-3|-a分別滿足下列條件，求實數a的取值范圍。

（1）函數有兩個零點；（2）函數有三個零點；（3）函數有四個零點。

分析：對于抽象函數f（x）=|x2-2x-3|-a的零點個數問題，利用函數的零點存在定理討論比較困難，可轉化為函數f（x）=|x2-2x-3|與函數g（x）=a圖像的交點個數問題。

解：設f（x）=|x2-2x-3|，g（x）=a，分別作出這兩個函數的圖像（如圖2），它們交點的個數，即函數f（x）=|x2-2x-3|-a的零點個數。

（1） 若函數有兩個零點，則a=0或a>4。

（2） 若函數有三個零點，則a=4。

（3） 函數有四個零點，則0

本題中，函數f（x）=|x2-2x-3|的圖像是確定不變的，函數g（x）=a的圖像可以是任何一條平行于x軸的直線。因此，借助于幾何畫板軟件用動畫的形式展示當a的值發生變化時，函數的零點個數就會發生改變。這種教學方式有利于將幾何圖形的變換過程直觀的展示在學生眼前，有利于學生歸納求這一類抽象函數的零點個數的方式方法。

四、 結束語

數學抽象思維能力的培養是解決高中數學抽象問題的關鍵，這既是一個系統的過程，也是一個緩慢的過程。教師要充分考慮高中生的數學抽象思維特點，讓學生進行合理的思維活動。

參考文獻：

[1] 仲崇猛.在反例中求正解[J].黑龍江教育（理論與實踐），2015（2）：53-54.

作者簡介：黃渝夏，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院；

葉小紅，重慶市，重慶市江北中學校；

李坤，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。