例看數形結合中“以形助數”的“魔力”

四川外國語大學附屬外國語學校 郭 東

數形結合是數學解題中常用的思想方法，尤其是其中的“以形助數”，可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，特別是在高考選填題中。以下就用例子來向大家展示：

一、在函數中的魔力

例1 已知函數f（x）滿足下列關系：①f（x+1）=f（x-1）;②當x∈[-1，1]時，f（x）=x2，則方程f（x）=lgx解的個數是（ ）

A.5 B.7 C.9 D.10

解：由題可知，f（x）是以2為周期，值域為[0，1]的函數。又f（x）=lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數圖象，則交點個數即為解的個數。由圖象可知共9個交點，故選C。

二、在方程和不等式中的魔力

例2 當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2＜logax恒成立，求a的取值范圍。

解：設 T1：f（x）=（x-1）2，T2：g（x）=logax，則T1的圖象為如右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）＜g（x）恒成立，即T1的圖象一定要在T2的圖象的下方，顯然a＞1，并且必須也只需g（2）＞（f2），故loga2＞1，a＞1，∴1＜a≤2。

三、在三角函數中的魔力

例3 已知sinα＞sinβ，那么下列命題正確的是（ ）

A.若α，β是第一象限角，則cosα＞cosβ

B.若α，β是第二象限角，則tanα＞tanβ

C.若α，β是第三象限角，則cosα＞cosβ

D.若α，β是第四象限角，則tanα＞tanβ

四、在數列中的魔力

例4 設正項等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值。

解：設等差數列的首項為a1，公差為d，則S4=4a1+6d≥10，即2a1+3d≥5，

S5=5a1+10d≤15，即a1+2d≤3，又a4=a1+3d，

因此求a4的最值可轉化為在線性約束條件 限制之下的線性目標函數的最值問題，作出可行域，如圖所示：

可知當a4=a1+3d，經過點A（1，1）時有最大值4。

五、在解析幾何中的魔力

例5 已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（ ）

解：點Q（2，-1）在拋物線y2=4x的內部，要使點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值，根據拋物線的定義知，須使點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線準線距離之和最小，即PQ⊥準線l時最小，則，故選A。

總之，數形結合思想在各個模塊及高考中占有非常重要的地位，“數”與“形”結合，相互滲透，使抽象思維和形象思維有機結合。應用數形結合思想，將數量關系和空間形式巧妙結合來尋找解題思路，使問題得到解決。