函數與方程思想在高中數學解題中的應用

湖北省孝感市云夢縣黃香高級中學 田永紅

函數與方程思想其實是包括兩個方面的內容：函數思想與方程思想。函數思想指的是運用函數的概念和性質來分析數學問題、轉化數學問題并解決數學問題，而方程思想則是從遇到的數學問題中找到數學關系，運用我們掌握的數學語言把問題中的已知條件轉化為可以解答的數學模型。在我們學習和教學的過程中，會遇到許多函數的問題，我們要運用方程的方式進行解決和理解，也會遇到很多方程的問題需要我們通過函數思想來解決，所以說，函數和方稱二者是可以相互轉化的，兩者關系密切。我們以高中數學人教A版為例，對函數與方程思想在解決問題中的應用進行簡單的分析和說明。

在高中數學學習的過程中，我們可能會遇到以下幾類需要運用函數與方程思想的題型：

一、用轉化函數與方程、表達式相互轉化的觀點解決函數、方程、表達式的問題

（1）設t=k2，若函數f（x），g（x）在區間（0，+∞）上單調性相同，求k的取值范圍;

（2）是否存在正實數k，都能找到t∈[1，2]，使得關于x的方程f（x）=g（x）在[1，5]上有且僅有一個實數根，且在[－5，－1]上至多有一個實數根？若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由。

此題考查的是運用導數來研究函數的單調性，求解參數的取值范圍，并且還對應方程解的問題，可以將其轉化為圖象與圖象的交點問題來進行處理。

二、通過構造函數或方程來解決問題

在進行數學學習的過程中，我們會遇到需要通過構造一個函數或者方程才能解決的數學題，例如：設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當 x＜0 時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是？

我們會在解題的過程中首先可以構造一個函數h（x）=f（x）g（x），x∈R，我們可以得到h（x）是定義在R上的奇函數，通過題意，可得h（x）在（-∞，0）區間是單調遞增的，并且零點是-3，通過數形結合，我們就可以得出h（x）＜0的解集是：（-∞，-3）∪（0，3）。

三、數列問題也可以運用函數與方程的思想

數列問題是高考中的一個重要部分，但是，很多時候，數列問題的解決并不是只靠數列的公式就可以的，而是需要結合函數與方程思想。

例如：已知數列{an}是各項均為正數的等差數列。（1）若a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數列，求數列的通項公式an；（2）在（1）的條件下，數列{an}的前n項和為Sn，設bn=若對任意的n∈N＊，不等式bn≤k恒成立，求實數k的最小值。

（1）數列{an}是等差數列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數列，

所以設等差數列的公差為d，即可得到(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=2或d=-1。

當d=-1時，a3=0，與a2，a3，a4+1成等比數列矛盾，舍去，所以d=2。

所以an=a1+2(n-1)=2n，即數列{an}的通項公式an=2n。

（2）由（1）可得Sn=n(n+1)，所以：

這樣，我們就把一個復雜的數列問題轉化為一個簡單的函數問題，使解題過程變得容易。

四、不等式中運用函數思想

不等式在高考中占有很大的比例，而很多的不等式都是和函數相結合，使得題目的難度增加，這就要求學生在解題的過程中找準函數關系，例如：解關于x的不等式：x2+5ax+6a＞0。

分析：此不等式可以分解為：（x+2a）（x+3a）＞0，故對應的方程必有兩解。又因為二次項系數為1，大于0，所以本題只需討論兩根的大小即可。

解：原不等式可化為：（x+2a）（x+3a）＞0，

對應一元二次方程（x+2a）（x+3a）=0的兩根為-2a，-3a。

①-2a＞-3a→a＞0，所以不等式的解集為：（-∞，-3a）∪（-2a，+∞）。

②-2a=-3a→a=0，此時不等式為x2＞0，所以不等式的解集為（-∞，0）∪（0，+∞）。

③-2a＜-3a→a＜0，所以不等式的解集為：（-∞，-2a）∪（-3a，+∞）。

二次項系數正負確定的情況下，先看能否因式分解，若能因式分解，則自然不必去求對應的一元二次方程的求根判別式，因為分解之后，根已顯而易見，同樣，因為根中含有字母，故其大小也不確定，所以討論又勢在必行。

五、在解決實際問題時靈活運用函數思想，簡化解題過程

在人教版高中數學必修五《基本不等式》的教學中，有這樣一個例題：用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形菜園的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短是多少？

在解答這個問題時，求的其實是周長最短，實際上我們已經可以知道xy=100，求當x和y分別為多少時，2（x+y）的值最小，即（x+y）的值最小。這樣，一個實際問題就被我們用一個方程表達出來了，使我們的解題思路清晰起來。

六、三角函數中運用函數思想

三角函數本身就是一種函數的類型，所以在進行三角函數的學習時，要注意的就是把函數的思想和三角的特點和公式相結合，達到高效率地解決問題，實現數學思想的內化。

七、在函數最值問題中應用方程思想

最值問題可以和很多知識相結合，和代數、三角函數、一次函數等等，我們現在就以二次函數為例進行解釋說明：

已知a、b、c為正整數，方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，則a+b+c的最小值為？

依題意，可知Δ=b2-4ac＞0,x1+x2=0,＞0,從而可知 x1，x2∈（-1,0)，

又 a，b，c為 正 整 數，取 c=1，則 a+1＞ b a≥ b， 所 以a2≥b2＞4ac=4a a＞4，從而a≥5，所以b2＞4ac≥20。又b＜5+1=6，所以b=5，因此a+b+c有最小值為11。下面可證c≥2時，a≥3，從而b2＞4ac≥24，所以b≥5，又a+c＞b≥5，所以a+c≥6，所以a+b+c≥11。

綜上可得，a+b+c的最小值為11。

本題主要考查了一元二次方程的根的分布問題的求解，主要應用了方程的根與系數的關系及，還考查了一定的運算推理的能力.

函數與方程思想在高中數學學習中是非常重要的，要想在高中這個重要的階段要求學生在數學上取得好的成績，那么，掌握函數與方程的數學思想就是一個重要的跳板，教師要在不斷地學習中為學生的進步做出研究，引導學生學會學習，提高學習效率。