運用圖像轉化法巧解變加速直線運動問題

段紹文

[摘 要]圖像法是分析研究物理問題的有效方法，文章結合例題分析了兩道變加速直線運動問題，以期提升學生解答相關問題的能力。

[關鍵詞]圖像轉化法；變加速；直線運動

[中圖分類號] G633.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）17-0053-01

由于物理圖像能直觀地表達物理規律，簡捷地描述物理過程，形象地反映物理量之間的關系，因此學會讀懂物理圖像，從物理圖像中找出有用的信息，往往能在解題過程中收到化繁為簡、快捷準確解題的效果。但是，有些物理圖像中物理規律或物理量間的數值關系較為隱蔽，當圖像的斜率、截距、面積等都不能直接反映目標問題時，圖像轉化就成了我們解題的優選策略。下面兩個變加速運動問題就是通過圖像轉換法來實現巧解的。

[例1]一質點從靜止開始做直線運動，其運動的a-t圖像如圖1所示，由圖像可知（ ）。

A. 質點在2 s末的速度是5 m/s

B. 質點在2 s末的速度是10 m/s

C. 質點在0～2 s內的位移等于10 m

D. 質點在0～2 s內的位移大于10 m

分析：該a-t圖像的斜率僅說明質點加速度是均勻減小的，而圖線在對應時間段內與t軸所圍的面積則表示速度的變化量[Δv]，即0～2 s內[Δv]=10 m/s，由于質點從靜止開始運動，因而2 s末質點速度為10 m/s，可知B選項正確。但對質點位移的判斷，由于a-t圖像中加速度均勻減小，這使部分學生錯誤地通過圖像求得0～2 s內質點的平均加速度為a=5 m/s2，再由x=[12]at2得x=10 m，結果錯選C。事實上，結合“加速度逐漸減小”和“2 s末速度為10 m/s”兩個重要信息，我們可以作出其運動的v-t圖像，如圖2所示，據此就可以很直觀地判斷出0～2 s內的位移（即v-t圖線在0～2 s內與橫軸所圍的面積）應該大于10 m。

[例2]在地面上以速率v1豎直向上拋出一個物體，物體落地的速率為v2，若物體所受空氣阻力的大小與其速度大小成正比，求物體在空中運動的時間t是多少？（已知重力加速度大小為g）

分析：本題由于物體受到的空氣阻力是變化的，故物體所受的合外力也隨時間而變化，僅用牛頓運動定律和運動學方法在高中階段是無法有效解答的。

在上升階段，物體做減速運動，v減小，阻力f=kv也減小，由牛頓第二定律得mg+f=ma，可知物體做加速度減小的減速運動；下落階段，物體做加速運動，v增大，阻力f=kv也增大，由牛頓第二定律得mg-f=ma，可知物體向下做加速度減小的加速運動，據此可作出物體運動的v-t圖像如圖3所示，由于上升過程與下落過程位移大小相同，方向相反，v-t圖線與時間軸所圍的總面積（圖中陰影部分）為零。而空氣阻力的大小與其速度大小成正比，因此物體受到的空氣阻力隨時間變化的圖像（f-t圖像）與其v-t圖像相似（如圖4所示），在f-t圖像中，力的沖量等于圖線與時間軸所圍成的面積，結合v-t圖像可知，此總面積（圖中陰影部分）也為零，因此，全過程中，空氣阻力的總沖量為零，只有重力的沖量使物體的動量發生變化。以豎直向上為正方向，由動量定理得：-mgt=-mv2-mv1，可得t=[v1+v2g]。

從以上兩例可以看出，圖像作為物理量的實際表征，是將物理變化由具體轉化為抽象，再由抽象轉化為形象圖表的過程，對一些用解析法看似無法解決的問題，借助圖像轉換法，往往可使人豁然開朗，收到事半功倍的效果，這在提高解題效率的同時，對培養學習者的抽象思維能力和數形結合思想也有著極其重要的意義。

（責任編輯 易志毅）