直線運動中追及相遇問題四法評析
——用“一題多解”構(gòu)建“共享式”物理課堂示例

劉宗濤

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校 江蘇 南京 211102)

高中物理中追及相遇問題實質(zhì)是兩體的空間相對位置隨時間變化的問題.其中，直線追及相遇問題是運動學(xué)中的基礎(chǔ)問題，學(xué)生通常會出現(xiàn)一題多解，以下對此類問題做分析討論，并根據(jù)課堂實施情況做評析.

1 情況分析

表1 兩體追及問題的各種情況

2 教學(xué)實施策略

在實際教學(xué)實踐中，學(xué)生會呈現(xiàn)出4種方法——函數(shù)法、臨界法、圖像法和轉(zhuǎn)換參考系法.課堂上，教師作為“導(dǎo)演”，讓學(xué)生以“羅生門”的形式(源于黑澤明導(dǎo)演的《羅生門》，意思是“從多種角度把握一個事實”)[1]，各自呈現(xiàn)解法，在一題多解中演繹各自對運動學(xué)概念和規(guī)律的理解，教師精當(dāng)評析，從而拼出整個運動學(xué)思想方法，學(xué)生參與表達，互相爭鳴，效果很好，追及相遇問題一題多解非常適宜構(gòu)建一種“共享”式物理課堂[2].

3 四法評析

追及相遇問題很多，下面以一道典型問題分別例證并評析之.

【例題】在一條平直的公路上，甲車在前以54 km/h的速度勻速行駛，乙車在后以90 km/h的速度同向行駛．某時刻兩車司機同時聽到前方有事故發(fā)生的警笛提示，同時開始剎車．已知甲、乙兩車與路面的動摩擦因數(shù)分別是μ1=0.05和μ2=0.1，g取10 m/s2.請問：

(1)若兩車恰好不相碰，則兩車剎車所用時間是多少？

(2)若想避免事故發(fā)生，開始剎車時兩輛車的最小間距是多少？

本題是一道典型的追及相遇問題，情境也比較容易建立，為了方便敘述，先求出兩車剎車過程中加速度大小分別是：a1=μ1g=0.5 m/s2，a2=μ2g=1 m/s2，另外由題知v1=15 m/s，v2=25 m/s.下面就學(xué)生出現(xiàn)的4種常見解法進行點評.

3.1 函數(shù)法

假設(shè)甲、乙兩車的距離為x0,畫出運動情景圖如圖1所示.

圖1 甲、乙兩車運動情景圖

設(shè)兩車開始剎車后經(jīng)過時間t兩車的距離為x，則

(1)

其中

(2)

(3)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)并代入數(shù)據(jù)，建立兩車距離與時間的函數(shù)關(guān)系

x0=100 m

t=20 s

教師評析:此法首先需畫出情景圖，建立位移關(guān)系，難度在于建立函數(shù)關(guān)系，并對函數(shù)進行討論，熟練掌握二次函數(shù)根的分布情況，判別式與實際物理意義要相對應(yīng).(1)>0時，可能有兩次相遇(根據(jù)求解出來的時間進行驗證)；(2)=0時剛好有一次相遇；(3)<0時，不會相遇.本質(zhì)是把較難的物理問題降解到數(shù)學(xué)上來.

3.2 臨界法

后車靠近前車的過程中，當(dāng)后車的速度等于前車的速度時，兩車距離最近，求出兩車達到共同速度需要的時間.由運動學(xué)公式可得

v2-a2t=v1-a1t

得

t=20 s

不相撞的最小距離就是在前20 s的距離差,代入時間求出兩車位移，可得

x0=x2-x1=100 m

教師評析:此法關(guān)鍵于理解物理過程中的“追”，“追”的速度本質(zhì)要求v后>v前，只有后方速度大于前方，才有“追”的事實成立，否則是前物甩開后物.以此尋找臨界條件，就是通常所說“一個條件，兩種關(guān)系”，即追及相遇問題的速度條件、位移關(guān)系和時間關(guān)系.學(xué)生多會呈現(xiàn)此法，9種情況就可以直接分解為兩種，速度大追速度小和速度小追速度大，最終分析的要點就是速度條件了.

3.3 圖像法

畫出兩車運動過程的v-t圖如圖2所示，同解法2容易計算出經(jīng)過時間20 s甲、乙兩車速度相等.

圖2 兩車運動過程的v-t圖

如圖2所示,剛好不相碰時，兩車的速度達到相等，乙車比甲車多行駛距離為陰影部分面積，此面積容易求得即為相距的最小距離

教師評析:v-t圖是解決追及相遇問題的一把“利器”，其妙處在于形象地將兩物體運動歸納到一幅圖上來，利用圖像可以很直觀看出速度關(guān)系，進而定出位移關(guān)系.但是運動圖像法前提需要對兩物體運動的物理過程有透徹的認(rèn)識，這樣解法才便捷可靠，圖像法解決追及相遇問題可以說是數(shù)形結(jié)合的一個典范.

3.4 轉(zhuǎn)換參考系法

以前面的甲車為參考系，那么乙車相對于甲車的相對速度為

v21=v2-v1=(25-15) m/s =10 m/s

乙車相對于甲車的相對加速度為

a21=a2-a1=(1-0.5) m/s2=0.5 m/s2

這樣，相當(dāng)于甲車靜止，乙車以初速度v21=10 m/s，加速度大小a21= 0.5 m/s2做勻減速直線運動，要使兩車不相撞，最小距離為

剎車時間

教師評析:追及相遇問題使用轉(zhuǎn)換參考系的方法，本質(zhì)上是將兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題.轉(zhuǎn)換參考系方法的核心是相對運動的計算，所謂相對運動除了相對速度之外，還需要考慮相對加速度和相對位移.運動學(xué)中3個重要的參量位移、速度和加速度均為矢量，均要用相對量來處理.相對運動思想還可以處理更復(fù)雜的曲線運動問題.

4 結(jié)束語

追及相遇問題通常使用的4種方法可以把運動學(xué)問題核心思想方法包含進去，領(lǐng)悟這些思想方法可以遷移到后續(xù)更復(fù)雜的問題, 如“傳送帶模型”問題、“滑塊木板模型”問題、帶電粒子在電磁場中的運動、電磁感應(yīng)中的導(dǎo)體棒運動等.在教學(xué)上可以設(shè)計為層層演進，由學(xué)生來板書實施解法并對班級學(xué)生宣講，這是課堂里的“放”.教師作為“導(dǎo)演”和觀察者總結(jié)提升每種解法的物理內(nèi)涵，特別注意4種解法蘊含的物理思想揭示：函數(shù)法是體現(xiàn)函數(shù)思想，臨界法是用臨界的思想，圖像法是數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換參考系是相對運動的思想——這是課堂里的“收”.學(xué)生探索，教師同步走并提升，在師生愉快的對話共享中領(lǐng)悟智慧，不失為利用“一題多解”構(gòu)建“共享式”物理課堂的好例子.