淺談微小物理量近似求解的方法
——對浙江省2016年物理選考第23題第(3)問的分析探討

沈 衛(wèi)

(湖州市菱湖中學 浙江 湖州 313018)

浙江省2016年物理選考第23題的第(3)問是一個典型的微小物理量計算問題.其最后一問描述出了每秒打到探測板上每個位置離子的動量均不同，但呈現(xiàn)線性變化的問題，然而在具體給出的參考答案中卻把計算過程極盡精簡化，沒有體現(xiàn)出這一特點，使不少考生頗為疑惑.本文將從圖像面積求解這個角度來對線性變化的離子動量計算給出分析論證.

1 浙江省2016年物理選考第23題真題以及參考答案

(1)求離子束從小孔O射入磁場后打到x軸的區(qū)間；

(2)調(diào)整磁感應強度的大小，可使速度最大的離子恰好打在探測板右端，求此時的磁感應強度大小B1；

(3)保持磁感應強度B1不變，求每秒打在探測板上的離子數(shù)N,若打在板上的離子80%被吸收，20%被反向彈回，彈回速度大小為打板前速度大小的0.6倍，求探測板受到的作用力大小.

圖1 題圖

參考答案：(1)根據(jù)動能定理，可得

由

可得

v0≤v≤2v0

離子在磁場中運動

離子打在x軸上的坐標表達式為

代入數(shù)據(jù)得

2a≤x≤4a

(2)當速度最大的離子打在探測板右端

(3)離子束能打到探測板的實際范圍為

2a≤x≤3a

對應的速度范圍為

每秒打在探測板上的離子數(shù)為

由動量定理，吸收的離子受到板的作用力大小

反彈的離子受到板的作用力大小

根據(jù)牛頓第三定律，探測板受到的作用力大小

2 對于選考23題第(3)問“探測板受力”的分析探討

把探測板分成無窮多的小段Δx，每小段都足夠的小，那么可以認為打到每小段Δx上的離子速度是相同的.再任意取一個小段Δx，設(shè)為A點，令離子進入磁場的位置O到A的距離為x，得到如圖2所示的示意圖.

圖2 離子在磁場中做勻速圓周運動的示意圖

x的取值范圍為2a～3a，且有打到A點的離子速度vx滿足

即有

因此可認為探測板上A點所在處Δx范圍內(nèi)的離子速度相同，且在Δx范圍內(nèi)每秒打到板上的離子數(shù)目

則在這個長度微元Δx范圍內(nèi)，打到探測板上離子的動量為

如此可將探測板上每個長度微元中離子的動量表示出來，再進行累加，便可獲得每秒鐘內(nèi)打到板上離子的總動量

p總=Δp1+Δp2+Δp3+…=

令

所以y的取值范圍就是

故可作y與x的正比函數(shù)關(guān)系圖如圖3所示.

圖3 y與x的正比函數(shù)關(guān)系圖

由總動量p總的累加計算公式與y-x圖像，不難發(fā)現(xiàn)，y-x圖像中正比例圖線與兩個坐標軸在x軸的2a～3a范圍內(nèi)所圍梯形(陰影部分)的面積即為單位時間內(nèi)打到探測板上離子的總動量p總.

每秒打到板上離子的總動量

再根據(jù)題目條件與動量定理可求得探測板受到的作用力

3 結(jié)束語

通過將探測板分解為一個個長度微元，把呈線性變化的物理過程經(jīng)過細分成為一個個恒定不變的過程，化變?yōu)楹悖谶@里所體現(xiàn)出的無限分割思想使原本復雜的過程變得簡單而直觀.將這一系列的小過程進行累加求和，讓小量求和的過程以直觀的圖像面積計算呈現(xiàn)出來，使這種極限求和得以用考生所熟知的數(shù)學方法解決，從而幫助考生正確認識與理解解決物理問題的有效手段與途徑.