最大速度在哪里

鄭 琦

(浙江省蕭山中學 浙江 杭州 311201)

1 原題展示

教學時經常會遇到這樣一道題.

【題1】如圖1所示，固定的光滑豎直圓軌道半徑為R，圓心為O，AB為豎直方向上的直徑.一個可視為質點的質量為m的小球緊貼圓軌道內壁做圓周運動，過A點時速度為v0，試求最大壓力的位置和它的大小.

圖1 題1附圖

解析：由機械能守恒可知A點即為最大速度處，而最大壓力也必然在A點.具體證明如下.

如圖2所示，假設某時刻小球運動到C點，C處位置用角度θ表示，C處速度記為vC.

圖2 題1解析用圖

由機械能守恒定律和C處向心力公式，可列出以下關系

聯立以上兩式，可得

說明：(1)θ可取范圍為[0,π]，cosθ單調遞減，N也單調遞減.

可知A處壓力最大，為

B處壓力最小，為

(2)要完成完整圓周運動的條件就是能保證通過B點，即在B點處要求不脫離軌道，即

得

(3)A，B兩點的壓力大小之差恒為定值

NA-NB=6mg

2 思考與拓展

上題中的圓軌道是光滑的，那么如果它是粗糙的呢？最大速度還會在A點嗎？壓力最大也在A點嗎？如果不是，它們分別在哪里？并且兩個最大值的位置會在同一位置嗎？

【題2】固定的粗糙豎直半圓面，半徑為R，圓心為O，PQ為水平直徑.從P點靜止釋放一個質量為m并可視為質點的小球，它與軌道之間的動摩擦因數恒為μ，試求：

(1)最大速度的位置和大小;

(2)最大壓力的位置和大小.

(兩個位置可用角量θ表示)

圖3 題2附圖

分析：速度的大小變化由切向加速度決定，如圖4所示,設軌道最低點為M,對小球在軌道上任意位置時，寫出切向和法向的動力學方程.

圖4 題2解析用圖

切向：

maτ=mgcosθ-μN

(1)

法向：

(2)

(1)定性判斷

(2)半定量證明兩者不在同一位置及先后關系

把式(1)、(2)用角量表示

(3)

mgcosθ1=μN(θ1)

故

所以當θ=θ1時

而θ=θ2時

故

(4)

即A點和B點是不重合的.小球先到達速度最大處，然后再到達壓力最大處.

(3)定量計算它們的位置和大小

由式(3)得到

考慮到

方程兩邊同乘dθ，得

移項

即

這是一個關于f(θ)的一階線性微分方程，兩邊同乘e2μθ，有

e2μθf′(θ)+2μe2μθf(θ)=

即

左右同時積分并注意到等式右邊部分應用分部積分方法，得到

考慮初始條件：θ=0時f(θ)=0，得

即

(5)

(6)

速度最大時，要求

即

(7)

壓力最大時，要求

即

(8)

說明：

(1)式(7)、(8)為超越方程，沒有解析解，只能用數值模擬逼近，可參考文獻[1]，筆者用計算格代數值模擬得到圖5.

(2)比較式(7)、(8)可知式(7)成立時的θ1確實比式(8)成立時的θ2略小，與式(3)和圖5都吻合.

數值模擬各參數如下：

v0=4 m/s,θ0=0,g=10 g/s2,m=1 kg,R=1 m,μ=0.1.

圖5 數值模擬圖

3 結束語

高中物理中的許多問題，如果細細追究會有很多這樣類似的問題存在，對于這些問題的深度挖掘和拓展，既能提高物理教師的專業水平，又能提高命題水平和試題辨析能力，使試題更加科學，也能更好地幫助學生少走許多彎路.