探討一道疑似錯題的額外價值

伍秀峰

(上海市位育中學 上海 200231)

1 引言

作為物理學科，要求的是理性分析現象和規律，但僅僅是定性處理顯然是不夠的，它與自然課的很大區別在于理解現有的規律和公式，并運用到判斷和計算方面.測量和計算是研究中不可或缺的環節，這方面的練習題能夠起到培養學生科學素養的目的；雖然物理是建立在實驗的基礎上的，但真實世界非常復雜，需要將其簡化為物理模型才能讓學生去處理，由此在出題時常常會編造數據及條件，甚至在實驗題中也會有湊數字的現象，那么如果給的是真實數據，但不同的觀點得出矛盾的結果，又該如何看待？

2 題干暗含的矛盾

【題目】(2013年普通高等學校招生全國統一考試海南卷)某同學用圖1所示的實驗裝置驗證機械能守恒定律.已知打點計時器所用電源的頻率為50 Hz，當地重力加速度g=9.80 m/s2.實驗中該同學得到一條點跡清晰的完整紙帶.紙帶上的第一個點記為O，另選連續的3個點A,B,C進行測量，圖1中給出了這3個點到O點的距離hA,hB和hC的值.回答下列問題(計算結果保留3位有效數字).

(1)打點計時器打B點時，重物速度的大小vB=______m/s;

(2)通過分析該同學測量的實驗數據，他的實驗結果是否驗證了機械能守恒定律？簡要說明分析的依據.

圖1 驗證機械能守恒定律裝置示意圖

顯然可根據A到C的平均速度作為中間時刻的瞬時速度求出vB=3.90 m/s，這里不再研究第2問，轉而研究實驗中體現的加速度.根據v2=2gh，及hB=0.785 7 m，可得g=9.68 m/s2，顯然比理論值小的原因可以解釋為阻力的影響，不算太嚴重.但從另一個觀點求得的加速度出了問題：在此勻變速運動中應當滿足hBC-hAB=gt2，其中t=0.02 s，以此逐差法求得g=11 m/s2.兩種計算上應該都沒問題，但是結果矛盾，參考文獻[1]認為由這道題的相關數據既然可以算出如此不合理的加速度，所以是出錯了題.雖然文獻[1]用的是另一道數字不同的題干，但可見這種情況普遍存在，亟待合理的解釋.

3 逐差法的認識

如果存在4段已知長度hAB,hBC,hCD,hDE，就可以求重力加速度的平均值，利用hCD-hAB=2gt2和hDE-hBC=2gt2分別求出g后相加除以2.為什么不是相鄰的兩段相減求出3個g值取平均呢？因為你會發現這樣相加后消掉了hBC,hCD的數據，誤差更大的原因是使用的數據更少.對于海南卷中的這道題，用逐差法求加速度，方法正確但所用的數據范圍過小(A至C之間)也會導致大的誤差存在，不妨就從測量誤差來估計一下：根據刻度尺的最小分度，我們可以估計每個長度測量值的誤差大小在0～0.000 2 m，而求g的表達式為

用到了4次測量值，估計分子的不確定度在0.000 8 m范圍內，但觀察分母為0.022，相當于將此誤差放大到2 500倍，所以g值的誤差大小估計在0～2之間，那么得到那樣的數據就可以理解了.相比之下，v2=2gh的觀點則是用上了足夠大范圍的數據(從起點開始的位移)，應該更具有說服力.

4 全位移算法的誤差估計

即

5 圖像的觀點

vA=vB-gtvC=vB+gt

代入數據得

vA=3.704 m/svC=4.096 m/s

分別平方作為縱坐標，再以3個點的下落高度h為橫坐標作出了圖2所示的直線擬合(Origin軟件)，可見畢竟存在誤差，直線是不過原點的，而下方的直線方程表達式y=A+Bx里，斜率B即為2g，可算得

g=9.799 7 m/s2

圖2 v2-h直線擬合圖像及相關的數據

這當然跟我們用9.8 m/s2的加速度去反推在A，C點的速度有關，所以第2次用計算值g=9.68 m/s2,求得

vA=3.706 4 m/s

vC=4.093 6 m/s

再次作圖(圖未顯示)后得到新的直線方程表達式如圖3所示，算得

g=9.679 69 m/s2

雖然這個值基本上也是默認加速度為9.68 m/s2而得到的，但仔細觀察這兩個直線方程的截距，第2次的-0.004 08 m2/s2極小，明顯更加過原點了，說明加速度為9.68 m/s2是可信的，因為一般保持在O點速度為零并非難事.

圖3 第2次作圖后得到的數據

再仔細思考一下，這兩次直線的截距都是負值，顯然不能對應任何O點的初速度，應該是源于那幾個測量數據的誤差；負的截距會導致偏大的斜率，說明這幾個數據點本身就可能會造成加速度測量值比真實值(或者說是均值)偏大，而如果這個誤差再集中在小尺度范圍內被放大(一次逐差的計算)，是否在一定程度上支持了那個g=11 m/s2的出現呢？但是與文獻[1]中一樣,逐差計算值都不是偏小而是偏大很多，深層原因還有待廣大同仁進一步研究.

6 總結

實驗是不容作假的，通常出題也會尊重事實；打點計時器的內容我們研究的很多，用來求重力加速度其精度還可以接受，通常編成習題時沒必要在數字上再進行處理.逐差、全程、作圖都是正確的求重力加速度的觀點，只是偶然誤差在小范圍的數據中體現得更加明顯一些，由此即認為題目出錯是值得商榷的.雖然這里的推導也很不嚴密，但從多個角度去理解實驗事實，不失為一種科學的研究手段.