關于平板電容器教學的兩點注記

鄭文珍

(衢州學院教師教育學院 浙江 衢州 324000)

電容器是現代電工電子技術中的重要元件，有關電容器的教學也是大學物理課程教學內容的一個重要組成部分[1].而在眾多琳瑯滿目的各式電容器中，平行板電容器因其結構簡單、便于計算的優點而作為常用電容器的代表在相關理論推導、能量儲存、介質極化、耦合回路等多個方面得到了典型應用.但在實際的大學物理教學中，除對平行板電容器作了最基本的討論外，對平行板電容器的其他特征卻極少涉及[2,3]，對其物理本質也缺少深層次的剖析.為了更進一步闡明平行板電容器的典型特征，下面通過兩個例子對這一問題作一些物理上的拓展和延伸，以豐富電容器內容的教學.

1 充電電流與場強的關系

對于一個兩極板間充以空氣的空氣平行板電容器，當其充電時，考慮一個質量為m,電荷量為e的電子，在電場E作用下，其運動速度由無規則熱運動的速度和在電場力作用下的定向運動速度疊加而成.則有

ma=-eE

(1)

即，由電場作用而產生的加速度為

(2)

而電子的運動是在不斷的碰撞中進行的，設電子每兩次碰撞之間的自由時間為τ，碰撞后速度為v0，則電子在兩次碰撞之間的平均自由程為

(3)

由于電子是全同的，對大量電子的平均自由程求統計平均，并注意到v0的平均值為零，則有

(4)

則電子定向運動的漂移速度為

(5)

設N為電子總數(為宏觀量)，根據大數微觀粒子熱運動統計規律的定義[4]，得

(6)

式(6)代入式(5)，得到

(7)

設導體中電子數密度為n，則電容器充電時的電流密度為

(8)

故通過任一截面S的充電電流為

(9)

式(9)表明，電流實際上是由大量電子運動統計平均值的結果，是由電荷的連續傳輸造成的.當電容器未充電時，體內無電場，自由電子沒有定向運動，從而導線中無電流；但當對電容器充電時，電場就會把場源變化的信息很快傳輸出去，使電子迅速達到重新分布，電路里建成了電場，推動當地的電子做定向運動從而形成電流.在對電容器充電時，充電電流取決于所有參加導電的電子相對于晶格位移的統計平均值，電流的大小與電場強度E和截面積S有直接的關系.這也是宏觀電流連續性的具體體現.

2 非平行板電容器

設有一非平行板電容器，如圖1所示，兩極板A和B形狀相同，其長和寬分別為L和l，A，B延伸后相交于點O，交角為θ，點O與極板近、遠端的距離分別為a和b.考慮兩極板雖非平行，但其間距很小，忽略邊緣效應.

圖1 非平行板電容器

設兩極板分別帶等量異號電荷±q，在兩板間距點O分別為r和r′處的場強分布分別為E和E′.由電荷分布的對稱性，在A，B的角平分面上，每一點的場強都與該面垂直，該面為等勢面.因此沿場強E和E′計算的電勢差相等，有

即

Erθ=E′r′θ

(10)

故

(11)

選取一個包圍A極板內表面的閉合高斯面cdefc，顯見，只有與電場線垂直的ef平面對所取高斯面的電場強度通量有貢獻，即

故由高斯定理

得

(12)

從而，得到

(13)

式(13)代入式(11)，得到非平行板電容器極板間的場強分布為

(14)

進而可得，此非平行板電容器極板間電勢差為

故求得此電容器的電容為

(15)

顯見，此電容器的電容除依賴于本身的形狀外，還與其相對位置及兩極板的交角等自身特征相關，而與其他條件無關，滿足電容器電容遵從的共性.

如果兩極板間最小距離為d，則當θ→0時，d=aθ；當b-a=L?a時，由ln(1+x)的冪級數展開式

從而式(15)可化為

(16)

式中Ll=S，為極板面積，由式(11)可知θ=0時，括號中第二項為零，則式(16)即退化為平板電容器的電容表達式.

若極板為正方形，即L=l，則有

(17)

與相關文獻結果一致[5].