雙漸開線齒輪傳動的研究與模態(tài)分析

□方志遠 □張秀文 □龔遠航

青島科技大學(xué)機電工程學(xué)院 山東青島 266061

1 研究背景

分階式雙漸開線齒輪是綜合了漸開線齒輪和雙圓弧齒輪優(yōu)點的一種新型齒輪[1]，與普通漸開線齒輪的最大區(qū)別在于其工作齒廓由兩段相錯的漸開線組成，中間以一段圓弧包絡(luò)線或一段過渡曲線連接，齒頂與齒根兩段漸開線齒廓呈階梯式布置，而普通漸開線齒輪工作齒廓僅由圓弧構(gòu)成。

隨著現(xiàn)代齒輪傳動技術(shù)的不斷發(fā)展成熟，人們對齒輪傳動系統(tǒng)的振動特性分析及動態(tài)特性預(yù)測越來越關(guān)注[2]。隨著有限元分析軟件的廣泛使用，人們可以通過計算機對齒輪的振動特性進行分析，并與試驗相對比，從而更加了解齒輪的振動性能。模態(tài)分析主要用于研究結(jié)構(gòu)或機器零部件的振動特性，振動特性包括固有頻率和振型[3]。筆者應(yīng)用有限元軟件對雙漸開線齒輪進行模態(tài)分析，通過分析可以進一步了解雙漸開線齒輪的振動性能。

2 模態(tài)分析理論

模態(tài)屬于結(jié)構(gòu)的振動特性，包括固有頻率和振型，是一個振動系統(tǒng)的基本動態(tài)特性[4]。模態(tài)包含了不同的阻尼比、固有頻率及振型。模態(tài)分析可以得到線性結(jié)構(gòu)在固有頻率范圍內(nèi)的模態(tài)特性，預(yù)測結(jié)構(gòu)在不同頻段內(nèi)經(jīng)歷外部或內(nèi)部各種外在作用力時的實際振動響應(yīng)[5]。

由理論力學(xué)可得齒輪系統(tǒng)的運動方程為:

式中：[M]、[C]、[K]依次為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；依次為位移向量、速度向量和加速度向量；｛F（t）｝為外加激振力向量。

為了進一步研究齒輪傳動系統(tǒng)的固有頻率，設(shè)外加激振力｛F（t）｝為0。根據(jù)理論力學(xué)可知，阻尼對模態(tài)分析的影響不大，可令[C]=0，這樣得到雙漸開線齒輪傳動系統(tǒng)無阻尼自由振動方程為：

對應(yīng)的特征方程為[6]：

式中：ω為固有頻率；A為阻尼矩陣為0時對應(yīng)的特征向量。

｛A｝有非零解的充分必要條件為系數(shù)行列式等于0，即：

式（4）是關(guān)于ω2的n次代數(shù)方程，可求得n階固有頻率 ωi（i=1，2，3，...，n）。將 ωi代入式（3），可得到一個列向量｛A｝i＝（ai1，ai2，ai3，...，ain），即振型或模態(tài)。所以，通過求解式（3）、式（4）便可得到齒輪不同階數(shù)時的固有頻率和振型。

3 有限元建模

應(yīng)用三維建模軟件建立雙漸開線齒輪的三維模型，并導(dǎo)入相應(yīng)的有限元軟件，完成材料屬性定義、網(wǎng)格劃分、接觸對定義、邊界條件設(shè)置等，從而建立相對應(yīng)的有限元模型。

雙漸開線齒輪的三維模型如圖1所示，其具體參數(shù)見表1。

▲圖1 雙漸開線齒輪三維模型

表1 雙漸開線齒輪參數(shù)

雙漸開線齒輪的材料為45號鋼，其彈性模量為209 GPa，泊松比為 0.269，密度為 7 890 kg/m3，材料變形按線彈性處理。

在ANSYS軟件中向大齒輪和小齒輪施加一定的力和轉(zhuǎn)矩，在小齒輪和大齒輪內(nèi)孔壁上施加對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)約束，僅使小齒輪切向自由。設(shè)置完模態(tài)待求解參數(shù)后，便可進行求解。

4 模態(tài)分析結(jié)果

通常情況下，對齒輪進行模態(tài)分析，模態(tài)階數(shù)越低，齒輪振動對傳動系統(tǒng)的影響就越大[7-8]。在求解固有頻率時，根本在于求解特征值，在求解過程中只要不出現(xiàn)病態(tài)矩陣，就可以解出在分析頻段內(nèi)的全部主要模態(tài)，n個自由度的結(jié)構(gòu)必然有n個特征值和n個特征向量相對應(yīng)。模態(tài)分析的精度需要滿足很多條件，在試驗分析過程中，一般選取前幾階模態(tài)的固有頻率和振型進行分析[9-10]，筆者提取一至十二階，對應(yīng)的固有頻率見表2。

表2 雙漸開線齒輪固有頻率

由表2可見，一階至六階固有頻率基本為0，為剛體模態(tài)。主動輪作為輸出動力的構(gòu)件，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為0，即無負載，為剛體模態(tài)，從七階開始，固有頻率顯著上升，說明此時系統(tǒng)不存在剛體模態(tài)。

雙漸開線齒輪綜合了漸開線齒輪的優(yōu)點，其嚙合特性決定了各方面性能與漸開線齒輪有所不同。為了進一步研究雙漸開線齒輪的振動特性，提取雙漸開線齒輪的前十二階固有頻率，進行ANSYS分析處理，得到雙漸開線齒輪各階模態(tài)的節(jié)點相對位移云圖，分析受力和振動情況。由于前六階模態(tài)為剛體模態(tài)，固有頻率基本為0，因此提取七至十二階模態(tài)進行分析，模態(tài)節(jié)點相對位移云圖如圖2所示。

由圖2可以看出，頻率在13 558 Hz和13 559 Hz附近，齒輪振動沿半徑方向伸縮，端面出現(xiàn)多邊形形狀，基本無軸向振動。當(dāng)頻率為28 438 Hz時，端面收縮成傘形。頻率在34 168 Hz附近時，出現(xiàn)十二階振動，此時可以看出明顯變形。十一階振動時端面的多邊形形狀并不明顯，十二階振動時可以明顯地看到端面己經(jīng)變?yōu)槿切巍?/p>

根據(jù)固有頻率下的雙漸開線齒輪振動，可以得到固有頻率及所對應(yīng)的固有振型，見表3。

表3 雙漸開線齒輪固有頻率與振型

▲圖2 雙漸開線齒輪模態(tài)節(jié)點相對位移云圖

通過分析總結(jié)，將齒輪的低階振型歸納如下。

（1）對折振。波浪振型主要在軸向出現(xiàn)，且端面上多為規(guī)則的多邊形振型，外觀表現(xiàn)上是對折振。

（2）傘形振。整個振動的形狀偏向傘形，軸向受力呈過度的狀態(tài)。

（3）徑向振。主要的表現(xiàn)形式為齒輪的徑向伸縮，端面出現(xiàn)不規(guī)則的振型，軸向基本無振動。

由圖2還可以看出，齒輪的受力大部分集中在齒頂和齒腰分階區(qū)域，且振動變形較大的頻率出現(xiàn)在對折振和彎曲振動中，說明這兩種振動對齒輪變形的影響是最大的，出現(xiàn)此種振型的頻率在14 793.5 Hz附近。在實際運行過程中，應(yīng)使齒輪運行的頻率避開這一頻率，以免發(fā)生較大共振，對傳動造成不利影響。

5 結(jié)論

建立雙漸開線齒輪的三維模型，應(yīng)用有限元分析軟件對齒輪進行模態(tài)分析，提取其固有頻率，得到不同頻率下的節(jié)點相對位移云圖。分析結(jié)果表明，雙漸開線齒輪在加工過程中應(yīng)加強齒頂和齒腰分階區(qū)域的強度，同時在實際運行過程中要避開共振頻率區(qū)域，以免發(fā)生共振。