塊α-對角占優矩陣的討論

高會雙,韓貴春,肖麗霞

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古通遼028043)

塊α-對角占優矩陣的討論

高會雙,韓貴春,肖麗霞

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古通遼028043)

應用矩陣塊對角占優理論,討論了塊α-對角占優矩陣之間的蘊含關系,并得到了條件最弱的塊嚴格α1-雙對角占優的兩個等價表征,并作為應用給出了塊H矩陣新的判定準則,最后用數值例子說明結果的有效性.

塊對角占優;塊α-對角占優矩陣;塊H矩陣

1 引言

為了適應大規模矩陣計算的需要,矩陣分塊技術的應用越來越廣泛.因此,眾多學者對塊對角占優問題進行了研究,獲得了一系列重要結果[1-3].本文將塊對角占優矩陣概念加以推廣,引入塊α-對角占優矩陣的定義,給出塊嚴格α1-雙對角占優的等價表征,并得到塊H矩陣新的判定準則,最后用數值例子說明結果的有效性.

設A=(aij)∈Cn×n為n階復方陣,分塊如下:

其中Aii為ni階復方陣,設

這里矩陣的范數∥·∥為誘導范數.Ri(A),Ci(A)分別簡記為Ri,Ci.

由上述知M=M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M6.再記

為了行文方便,在下面的定義中給出五種塊α-對角占優矩陣的記號.

定義1.1?分塊如式(1.1).若存在α∈[0,1],使得

則稱矩陣A為塊(嚴格)α1-對角占優矩陣,記為BD1(α0)(BD1(α)).

定義1.2設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1).若存在α∈[0,1],使得

則稱矩陣A為塊(嚴格)α2-對角占優矩陣,記為BD2(α0)(BD2(α)).

定義1.3設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1).若存在α∈[0,1],使得

則稱矩陣A為塊(嚴格)α1-雙對角占優矩陣,記為BDD1(α0)(BDD1(α)).

定義1.4設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1).若存在α∈[0,1],使得

則稱矩陣A為塊(嚴格)α2-雙對角占優矩陣,記為BDD2(α0)(BDD2(α)).

定義1.5設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1).若存在α∈[0,1],使得

則稱矩陣A為塊(嚴格)α3-雙對角占優矩陣,記為BDD3(α0)(BDD3(α)).

2 塊α-對角占優矩陣定義之間的關系

定理2.1設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1),則下列結論成立:

1)若A∈BD1(α),則A∈BDD1(α);

2)若A∈BD2(α),則A∈BD1(α),A∈BDD1(α),A∈BDD2(α);

3)若A∈BDD2(α),則A∈BDD1(α);

4)若A∈BDD3(α),則A∈BDD1(α).

定理2.2設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1),則

1)若A∈BD1(α)時,不蘊含A∈BD2(α),A∈BDD2(α),BDD3(α);

2)若A∈BD2(α)時,不蘊含A∈BDD3(α);

3)若A∈BDD1(α)時,不蘊含A∈BD1(α),A∈BD2(α),A∈BDD2(α),A∈BDD3(α);

4)若A∈BDD2(α)時,不蘊含A∈BD1(α),A∈BD2(α),A∈BDD3(α);

5)若A∈BDD3(α)時,不蘊含A∈BD1(α),A∈BD2(α),A∈BDD2(α).

證明根據定義易知定理2.1和定理2.2的結論是成立的,在此不做詳細的證明.

注1定理2.1和定理2.2的結論說明,在所有的塊嚴格α-對角占優矩陣定義中,塊嚴格α1-雙對角占優矩陣的條件是最弱的.為此,下面給出塊嚴格α1-雙對角占優矩陣的兩個等價表征.

3 塊嚴格α1-雙對角占優矩陣的等價表征及應用

引理3.1[4]設σ,τ是任意兩個非負實數,0≤α≤1,則ατ+(1?α)σ≥τασ1?α.

引理3.2若矩陣A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1),滿足下列條件之一:

1)A∈BD1(α);2)A∈BD2(α);3)A∈BDD1(α);

4)A∈BDD2(α);5)A∈BDD3(α).

則A為非奇異的塊H矩陣.

證明由文獻[5-6]知,在1),3)條件下,結論成立.由引理3.1可知,

因此,在2),4),5)條件下,結論也成立.

引理3.3設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1)且M6=?,如果M1,M2至少有一個空集,則A∈BDD1(α).

證明分三種情況:

情況1

情況2

情況3

因此三種情況下總可得:

從而根據定義3.1知A∈BDD1(α).

推論3.1設A=(aij)∈Cn×n分塊如式(1.1),如果M6=?,則當M1,M2至少有一個空集時有A為非奇異的塊H矩陣.

證明由引理3.2和引理3.3知結論成立.

定理3.1設矩陣A=(aij)∈Cn×n分塊形如式(1.1),則A∈BDD1(α)充分必要條件是M6=?且

證明充分性由(3.1)式及指標集M1,M2的取法可知,必存在常數α,滿足

由(3.2)式的第二個不等式,并注意到對任意的(s,t)得

由(3.2) 式的第三個不等式, 注意到對任意的(i; j) ∈ M2; zij = xijyij > 1; 得

又因為對任意的(i,j)∈∪M4∪M5,α∈(0,1),顯然有

則對任意的(s,t)∈M1,有

定理3.2設矩陣A=(aij)∈Cn×n分塊形如式(1.1),M6=?,如果矩陣A滿足不等式

則A為非奇異的塊H矩陣.

證明由定理3.1知A∈BDD1(α),再根據引理3.2知,A為非奇異的塊H矩陣.

定理3.3設矩陣A=(aij)∈Cn×n分塊形如式(1.1),則A∈BDD1(α)充分必要條件是M6=?且

證明充分性由(3.3)式可知,對任意的(s,t)∈M1,(i,j)∈M2有logzijyij<1?logγstβst.由γij>βij>1,得00使得0

令α=logγstβst+ε,得到0<α<1和logγstβst<α,即

在(3.4)式兩邊同時乘以β?αst,可得

因此對任意的(s,t)∈M1,有

又因為對任意的(l,m)∈M3∪M4∪M5,α∈(0,1),顯然有

綜上根據定義3.1知A∈BDD1(α).

必要性由定義可知,顯然有M6=?,且存在α∈(0,1),使得

綜合可知logγstβst+logzijyij<1,?(s,t)∈M1,?(i,j)∈M2.即(3.3)式成立.

定理3.4設矩陣A=(aij)∈Cn×n分塊形如式(1.1),M6=?,如果矩陣A滿足不等式:

logγstβst+logzijyij<1,?(s,t)∈M1,?(i,j)∈M2,

則A為非奇異的塊H矩陣.

證明由定理3.3知A∈BDD1(α),再根據引理3.2知,A為非奇異的塊H矩陣.

4 數值例子

例4.1設矩陣

其中Aij(i,j=1,2,3)均為2×2矩陣.經計算,有

取矩陣范數

經計算,得

即滿足定理3.2的條件,所以矩陣A為非奇異的塊H矩陣.

[1]Huang Tingzhu,Li Wen.Block H-matrices and Spectrum of Block Matrices[J].Applied Mathematics and Mechanics,2002,23(2):236-240.

[2]楊鵬,冉瑞生,黃廷祝.非奇塊H矩陣的充分條件[J].電子科技大學學報,2004,33(2):204-207.

[3]劉建州,徐映紅,廖安平.廣義塊對角占優矩陣的判定[J].高等學校計算數學學報,2005,27(3):250-257.

[4]徐成賢,徐宗本.矩陣分析[M].西安:西北工業大學出版社,1991.

[5]李慶春,劉磊.矩陣對角占優性的推廣[J].吉林師范學院學報,1996,17(5):4-7.

[6]高中喜,黃廷祝，劉福體.塊H矩陣的簡捷判定[J].工程數學學報,2004,21(3):340-344.

Discussion for block α-diagonally dominant matrices

Gao Huishuang,Han Guichun,Xiao Lixia

(School of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Tongliao028043,China)

Applying the theorem of block diagonally dominant matrices,we discuss the relations between block α-diagonally dominant matrices.We give two equivalence representations for strictly double block α1-diagonally dominant matrices.As its application,we obtain some criteria for block H-matrices.In the end,the efficiency of the proposed criteria is showed by a numerical example.

block diagonal dominance,block α-diagonally dominant matrices,block H-matrices

O151.21

A

1008-5513(2014)01-0053-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.009

2013-11-21.

內蒙古民族大學科學研究基金(NMD1226).

高會雙(1980-),碩士,講師,研究方向：數值代數和算子代數.

2010 MSC:15A57