超空間與原空間動力系統之間的關系

李金金

(西北大學數學系,陜西西安710127)

超空間與原空間動力系統之間的關系

李金金

(西北大學數學系,陜西西安710127)

設(X,d,f)為拓撲動力系統,其中X為局部緊可分的可度量化空間,d為緊型度量,f為完備映射,用2X表示由X的所有非空閉子集構成的集族,(2X,ρ,2f)為由(X,d,f)所誘導的賦予hit-or-miss拓撲的超空間動力系統.本文引入了余緊點傳遞和弱拓撲傳遞的定義.特別的,在X滿足一定的條件時,給出了點傳遞,弱拓撲傳遞和余緊點傳遞之間的關系,并研究了(X,d,f)的余緊傳遞點,回復點和幾乎周期點分別與(2X,ρ,2f)的傳遞點,回復點和幾乎周期點之間的蘊含關系.這些結論豐富了賦予hit-or-miss拓撲的超空間的研究內容.

超空間動力系統;弱拓撲傳遞;余緊點傳遞;回復點;幾乎周期點

1 引言

設X為一個拓撲空間,f:X→X是一個連續自映射,稱(X,f)是一個拓撲動力系統, X是(X,f)的底空間.當(X,d)是度量空間時,把(X,f)記作(X,d,f).

記F和2X分別是拓撲空間X的所有閉子集和所有非空閉子集構成的集族.對任意一個子集A∈2X,定義2f(A)=f(A).假定給2X賦予某種拓撲,并且H是2X的一個子空間,如果f與H是相容的(即對H中任意的A,有f(A)∈H),且使得2f:H→H為連續映射,則稱(H,2f)為由(X,f)所誘導的超空間動力系統.

設(X,d,f)是一個底空間為局部緊可分的可度量化空間的動力系統,且d為緊型度量,f為完備映射.2009年,文獻[1]在F和2X分別賦予hit-or-miss拓撲時,給出了由(X,d,f)所誘導的超空間動力系統(F,ρ,2f)和(2X,ρ,2f).2007年,文獻[2]對(X,d,f)和(2X,ρ,2f)上的混合性,弱混合性及傳遞性等一些動力性狀進行了研究.2009年,文獻[3]對(X,d,f)和(2X,ρ,2f)上的初值敏感性等一些動力性狀進行了研究.2010年,文獻[4]對(X,d,f)和(2X,ρ,2f)上的等度連續性等一些動力性狀進行了研究.隨后,2012年,文獻[5]研究了賦予Vietoris拓撲的對稱積拓撲動力系統與原空間拓撲動力系統之間關于周期性,回復性,影子性質等性狀的蘊含關系. 2013年,文獻[6]研究了超空間在賦予Vietoris拓撲,且底空間是緊致度量空間時的Martelli混沌.

本文在文獻[5]的基礎上研究了當(X,d,f)是一個底空間為局部緊可分的可度量化空間的動力系統,且d為緊型度量,f為完備映射,(2X,ρ,2f)為由(X,d,f)所誘導的賦予hit-ormiss拓撲的超空間動力系統時,引入了余緊點傳遞與弱拓撲傳遞的定義,進而通過一些例子給出了在X滿足一定條件時余緊點傳遞與點傳遞,弱拓撲傳遞與拓撲傳遞的關系.最后得到了以下的結論:1)若A是所誘導的超空間動力系統中的拓撲傳遞點,則這個集合中的點是底空間的余緊傳遞點;2)單點集A是所誘導的超空間動力系統中的回復點當且僅當A中的點單是底空間的回復點;3)單點集A是所誘導的超空間動力系統中的幾乎周期點當且僅當A中的點是底空間的幾乎周期點.

2 基本定義及其概念

2.1 動力系統中的定義

定義2.1[7]設X是一個Hausdor ff拓撲空問,對X的任意非空開子集U,如果X?U是X的一個緊子集,則稱U為一個余緊開集.

定義2.2[8]設X為局部緊可分的可度量化空間,ω(X)=X∪ω為X的一點緊化,和ωX上的度量,則稱d為X上的緊型度量.

定義2.3[9]設X是一個Hausdor ff空間,f:X→Y,若f為連續的閉映射,且對于任意的y∈Y,f?1(y)為X的一個緊子集,則稱f為一個完備映射.

定義2.4[10]設(X,f)是拓撲動力系統,對于正整數集合

如果存在整數N>0,使得任意連續N個正整數中至少含有一個A中的元素,則稱A是相對N稠密的.

定義2.5[10]設(X,d)為度量空間,x∈X,如果對于任意的ε>0,使得fn(x)∈V(x,ε)成立的n構成一個相對稠密的集合,則x稱作f的幾乎周期點.

定義2.6[10]設(X,d)為度量空間,x∈X,如果對于任意的ε>0,存在n>0,使得fn(x)∈V(x,ε),這里的

則x稱作f的回復點.

定義2.7[10]設(X,f)是拓撲動力系統,如果存在x∈X,使得即x的軌道在X內稠密,則稱f是點傳遞的,其中x稱作f的傳遞點.

定義2.8設(X,f)是拓撲動力系統,x∈X,若對任意的余緊開集U?X,存在n≥0,使得fn(x)∈U,則稱f是余緊點傳遞的,其中x稱作f的余緊傳遞點.

從定義可以看出,點傳遞是余緊點傳遞的;當(X,d)為緊致度量空間,則余緊點傳遞與點傳遞是等價的.

而f的余緊傳遞點不一定是f的傳遞點,下面舉一個例子來加以說明.

例1設X=Z+是離散的拓撲空間,即:X={1,2,3,···},其中f定義為:

f(x)=x+1,x∈X.

對于2∈X,由f的定義可知,X中任意一個非空余緊開集,2都會經過有限步之后落進這個非空余緊開集里,所以2是f的余緊傳遞點.而對于2∈X及開集{1},任意的n≥0,有fn(2)?∈{1},則2不是f的傳遞點.

由例1可知,在非緊空間中,余緊傳遞點與傳遞點是不等價的.

下面給出f是余緊點傳遞,而f不是點傳遞的一個例子.

例2設X=Z+是離散的拓撲空間,即:X={1,2,3,···},其中f定義為:

f(x)=x2,x∈X.

對于2∈X及X的任意余緊開集U,都存在n≥0,使得fn(2)∈U,則2是f的余緊傳遞點,故f是余緊點傳遞的.而對于任意的x∈X及開集{2},對任意的n≥0,有fn(x)/∈{2},則f沒有傳遞點,故f不是點傳遞的.

由例2可知,在非緊空間中,余緊點傳遞與點傳遞是不等價的.

定義2.9[11]設(X,f)是一個拓撲動力系統,若對任意的非空開集U,V?X,存在k≥0,使得fk(U)∩V?=?,則稱f為拓撲傳遞的.

定義2.10設(X,f)是一個拓撲動力系統,若對任意的非空開集U,V?X,存在k≥0,

使得

fk(U)∩V?=?和fk(V)∩U?=?

至少有一個成立,則稱f為弱拓撲傳遞的.

從定義不難看出,拓撲傳遞一定是弱拓撲傳遞的.而弱拓撲傳遞不一定是拓撲傳遞的,下面舉一個例子來加以說明.

例3設

其中f定義為:

由于對任意的兩個非空開集U和V,根據映射f的定義可知,0只是一個不動點,則在開集U和V中肯定有最小的元素,不妨設

1)當m=n時,只需取k=0,有

從而

故由1)和2)知,f為弱拓撲傳遞的.

而對于開集

任意的k≥0,fk(V)∩U=?,則f不是拓撲傳遞的.

由例3可知,弱拓撲傳遞與拓撲傳遞是不等價的.

下面給出點傳遞,余緊點傳遞與弱拓撲傳遞的關系,首先給出下面的一個引理.

引理2.11[11]設X為無孤立點的度量空間,f是X上的一個連續自映射,則

(a)若x∈X在映射f下有稠密的軌道,則對于任意的n≥1,fn(x)也有稠密的軌道;

(b)若映射f有稠密的軌道,則f也是拓撲傳遞的.

從引理2.11和定義2.10可以看出,當X為無孤立點的度量空間時,則點傳遞一定是弱拓撲傳遞的.

下面給出文獻[12]的一個拓撲傳遞而非點傳遞的例子.

例4設g:I→I,其中I=[0,1],g(x)=1?|2x?1|為帳篷映射,則令X

由例4可知,當X為無孤立點的非緊致空間時,則f是拓撲傳遞而不是點傳遞的,從而f也是弱拓撲傳遞的而不是點傳遞的.

于是結合以上所得到的結果可得以下的關系:

(1)當X為非緊致的度量空間,且X無孤立點時,有

f是弱拓撲傳遞的?=f是拓撲傳遞?=f是點傳遞=?f是余緊點傳遞;

(2)當X為緊致的度量空間,且X無孤立點時,有

f是余緊點傳遞??f是點傳遞??f是拓撲傳遞=?f是弱拓撲傳遞.

2.2賦予hit-or-miss拓撲的超空間動力系統

設X為一個拓撲空間,按照Matheron G的記法[13],對于任意的B?X,A?P(X),其中P(X)為X的冪集,

記F,G和K分別表示X中的所有閉集,開集和緊子集構成的集族(其中,空集但由集族

作為基底在F上所生成的拓撲τf稱為hit-or-miss拓撲,其中

由集族

特別的,當X為局部緊第二可數的Hausdor ff拓撲空間時,F為緊致的第二可數的Hausdor ff拓撲空間,并且(F,τf)是可度量化的[14],2X作為F的子空間為局部緊第二可數的Hausdor ff拓撲空間,根據文獻[15],(F,τf)上的一個相容度量為ρ:F×F→R,具體構造如下:

dH為:對任意的A,B∈2ωX,

其中

定義映射C:F→2ωX為:對于任意的F∈F,C(F)=F∪{ω}.

度量ρ定義為:對任意的F,

對于拓撲動力系統(X,d,f),其中(X,d)是局部緊第二可數的度量空間,d為緊型度量, f為完備映射.

由f所誘導的超空間上的映射2f:2X→2X定義為:對任意的F∈2X,2f(F)=f(F).由文獻[15]知,2f為連續映射,從而(2X,ρ,2f)為一個拓撲動力系統.

3 主要結果

從本節開始,當提到(X,d,f)是一個拓撲動力系統時,就是指(X,d)為局部緊可分的可度量化空間,d為緊型度量,f:X→X為完備映射,其中(2X,ρ,2f)為由(X,d,f)所誘導的賦予hit-or-miss拓撲的超空間動力系統.

本部分是受文獻[5]的啟發,由于文獻[5]研究了賦予Vietoris拓撲的對稱積拓撲動力系統與原空間動力系統之間關于周期性,回復性,影子性質等性狀的蘊含關系,于是在超空間賦予hit-or-miss拓撲時,對拓撲動力系統(X,d,f)與它所誘導的超空間拓撲動力系統(2X,ρ,2f)之間關于一些性狀的蘊含關系進行了研究,提出了在適當增減條件的前提下可以得出本節的結果.

定理3.1設(X,d,f)是拓撲動力系統,f:X→X為完備映射,若A是(2X,ρ,2f)的傳遞點,則對任意的x∈A,x是(X,d,f)的余緊傳遞點.

證明設U是X的任意非空余緊開集,由于A是(2X,ρ,2f)的傳遞點,則對于非空開集存在使得

而

則有

于是fn0(A)?U,從而對任意的x∈A,有fn0(x)∈fn0(A)?U,即對任意的x∈A, fn0(x)∈U.

故對任意的x∈A,x是(X,d,f)的余緊傳遞點.

由于在(X,d)為緊致度量空間時,Vietoris拓撲與hit-or-miss拓撲是一致的,結合定理3.1與第二部分的結果可得到下述推論.

推論3.2[6]設(X,d)為緊致度量空間,f:X→X為一個連續映射,其中(2X,ρ,2f)是由動力系統(X,d,f)所誘導的賦予Vietoris拓撲的超空間動力系統.若A是(2X,ρ,2f)的傳遞點,則對任意的x∈A,x是(X,d,f)的傳遞點.

從定理3.1可以看出,超空間中的拓撲傳遞點A,得到A中任意的點是底空間的余緊傳遞點.

定理3.3設(X,d,f)為拓撲動力系統,f:X→X為完備映射,則單點集A是(2X,ρ,2f)的回復點當且僅當單點集A中的點是(X,d,f)的回復點.

證明必要性由于A是(2X,ρ,2f)的回復點,且A是單點集,不妨令A={x},則對于任意的使得

又由于

則有

從而d(fn(x),x)<ε.

故A中的點是(X,d,f)的回復點.

充分性由于A是單點集,不妨令A={x}.因為x∈X是(X,d,f)的回復點,所以對于任意的存在n>0,使得

從而由三角不等式得

又由于

故單點集A是(2X,ρ,2f)的回復點.

定理3.4設(X,d,f)為拓撲動力系統,f:X→X為完備映射,則單點集A是(2X,ρ,2f)的幾乎周期點當且僅當單點集A中的點是(X,d,f)的幾乎周期點.

證明必要性由于A是(2X,ρ,2f)的幾乎周期點,且A是單點集,不妨令A={x},則對于任意的存在n>0,使得成立的n構成相對稠密的集合N.

運用定理3.3必要性的證明方法,可得d(fn(x),x)<ε.

又因為N是相對稠密集,且N中的每一個n也使得d(fn(x),x)<ε成立,所以滿足d(fn(x),x)<ε成立的n構成的集合也是相對稠密的.

故A中的點是(X,d,f)的幾乎周期點.

充分性由于A是單點集,不妨令A={x}.因為x∈X是(X,d,f)的幾乎周期點,所以對于任意的存在n>0,使得

成立的n構成相對稠密的集合N,從而由三角不等式得

運用定理3.3充分性的證明方法,可得

又因為N是相對稠密集,且N中的每一個n也使得ρ(fn({x}),{x})<ε成立,所以滿足ρ(fn({x}),{x})<ε成立的n構成的集合也是相對稠密的.

故單點集A是(2X,ρ,2f)的幾乎周期點.

從定理3.3與定理3.4可以看出,當超空間中的點是底空間的單點集時,超空間中的點所具有的動力性狀與此點回到底空間所具有的一些動力性狀是一樣的.

[1]Wang Y G,Wei G,Campbell W H,et al.A framework of induced hyperspace dynamical systems equipped with the hit-or-miss topology[J].Chaos,Solitons,&Fractals,2009,41:1708-1717.

[2]Wang Y G,Wei G.Characterizing mixing,weak mixing and transitivity of induced hyperspace dynamical systems[J].Topology and its Applications,2007,155:56-68.

[3]Wang Y G,Wei G,Campbell W H.Sensitive dependence on initial condition between dynamical systems and their induced hyperspace dynamical systems[J].Topology and its Applications,2009,156:803-811.

[4]苗小倩.關于拓撲動力系統及其誘導的超空間動力系統的等度連續[J].西北大學學報:自然科學網絡版,2010, 8(4):0436-0443.

[5]Jos′e L G′omez-Rueda,Alejandro Illanes,H′ector M′endez.Dynamic properties for the induced maps in the symmetric products[J].Chaos,Solitons,&Fractals,2012,45:1180-1187.

[6]Liu Lei,Zhao Shuli.Martelli’s chaos in inverse limit dynamical systems and hyperspace dynamical systems[J].Results Math.,2013,63:195-207.

[7]魏征,王延庚,衛國.一種新的拓撲熵[J].西北大學學報:自然科學網絡版,2009,7(1):100-108.

[8]Wang Y G,Wei G,Li R.hit-or-miss拓撲上的度量:直接擴充[J].純粹數學與應用數學,2008,24(4):643-645.

[9]Engelking R.General Topology[M].Warszawa:PWN,1977.

[10]周作領.符號動力系統[M].上海:上海科技教育出版社,1997.

[11]Karl-G Grosse-Erdmann,Alfred Peris Manguillot.Linear Chaos[M].London:Springer London Ltd.,2011.

[12]張景中,熊金城.函數迭代與一維動力系統[M].成都:四川教育出版社,1992.

[13]Matheron G.Random Sets and Integral Geometry[M].New York:Wiley,1975.

[14]Flachsmeyer J.Verschiedene topologisierungen im Raum der abgeschlossenen Teilmengen[J].Math.Nachr., 1964,26:321-337.

[15]Wei G,Wang Y G.On metrization of hit-or-miss topology Alexandro ffcompacti fi cation[J].International Journal of Approximate Reasoning,2007,46(1):47-64.

The relationships between hyperspace dynamical systems and original space

Li Jinjin

(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

Let(X,d,f)be a topological dynamical system,where X is a locally compact separable metrizable space,d is a compact-type metric and f is a perfect mapping.Let 2Xbe the space of all non-empty closed subsets of X.Let(2X,ρ,2f)denote the hyperspace dynamical systems induced by(X,d,f)equipped with the hit-or-miss topology.In this paper,the concepts of co-compact point transitivity and weak topological transitivity are introduced.In particular,when X satis fi es certain condition,the relationships between point transitivity,weak topological transitivity and co-compact point transitivity are given,and the author studied the relationships between co-compact transitivity point,recurrent point and almost period point of(X,d,f) respectively and transitivity point,recurrent point and almost period point of(2X,ρ,2f).These conclusions enriched the contents of induced hyperspace dynamical systems equipped with the hit-or-miss topology.

hyperspace dynamical system,weak topological transitivity,co-compact point transitivity, recurrent point,almost period point

O189.11

A

1008-5513(2014)01-0060-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.010

2014-01-14.

國家自然科學基金(11301417);國家青年基金(11371292).

李金金(1986-),碩士生,研究方向：拓撲動力系統.

2010 MSC:54A05