一類推廣的Bernstein-Kantorovich算子的點態逼近

劉國芬

(1.河北師范大學數學與信息科學學院,河北石家莊050024; 2.河北省計算數學與應用重點實驗室,河北石家莊050024)

一類推廣的Bernstein-Kantorovich算子的點態逼近

劉國芬1,2

(1.河北師范大學數學與信息科學學院,河北石家莊050024; 2.河北省計算數學與應用重點實驗室,河北石家莊050024)

討論Bernstein-Kantorovich算子的一種推廣形式的逼近性質,運用插項的方法證明了逼近正定理,并證明了逆定理,得到了逼近等價定理.完善了算子在逼近性質方面的結果.

Bernstein-Kantorovich型算子;光滑模;K-泛函;逼近正逆定理

1 引言

對于f∈C[0,1],Bn(f,x)表示Bernstein-Kantorovich算子,定義[1]

這里,

是B′ezier基算子,sn是一個自然數序列并且對于Sikkema算子[3]和B′ezier算子[4-7]許多學者都有一定的研究,對Bernstein-Sikkema-B′ezier算子的點態逼近性質進行了討論[8],證明了其逼近的等價定理.本文將對Bernstein-Kantorovich的Sikkema-B′ezier變形算子的逼近性進行討論,給出并證明該算子逼近的正逆定理和等價定理,其中主要結論敘述如下.

定理1設則下面兩個陳述是等價的:

文中用到光滑模和K-泛函的等價性,它們的定義分別為:

這里

文中C表示與n和x都無關的常數,不同位置的數值可能是不一樣的.

2 引理

為了證明定理1,需要幾個引理.為了利用插項的方法,首先給出Bernstein-Kantorovich-B′ezier算子的逼近度,定義為

引理2.1設

證明由與光滑模之間的等價關系,對于固定的n,x和λ,可以選擇適當的g=gn,x,λ,使得

注意到|Bn,α(f)|≤α∥f∥,

注意到0

可推出[1]:

利用(2.2)-(2.4)和(2.7)式,引理2.1得證.

引理2.2下面關于Sn,1(f,x)的矩的估計:

證明經過簡單的計算就可得到Sn,1(1,x)=1,

成立.于是(2.8)式得證.

引理2.3設

則有

進一步,當f∈Wλ時,

證明首先證明(2.9)式.

這里

利用1=Jn,0>Jn,1>···>Jn,n>0和

注意到pn,n+1(x)=0,pn,?1(x)=0,結合,有

當x∈En時,δn(x)～φ(x),

結合(2.11)和(2.12)式,證明了(2.9)式.下面證明(2.10)式.

由于Sn,α(1,x)=1,顯然f(x)S′n,α(1,x)=0.當f∈Wλ時,有

于是由(2.6)式,可得

注意到pn,?1(x)=0,當時,

這里

對于K1,有(當x=0時,K1=0),

另一方面,

對于x∈En,δn(x)～φ(x),

顯然對于x∈En(2.14)式的推導過程也是適用的,I1≤C.于是當x∈En時,有

由(2.15)和(2.16),(2.10)式成立.這樣引理2.3得證.

引理2.4當0時,不等式

證明對于(2.17),利用H¨older不等式只需證明:

3 定理的證明

這一部分將對定理1進行證明.對于(1.2)?(1.1)式,由引理2.1,

再由文獻[1]中的(3.1.5)得到,

于是(1.1)式成立.另一方面,利用引理2.3和引理2.4并借助文獻[9]中定理1關于“?”的方法就可以證明(1.1)?(1.2)式,這里不再敘述細節.

[1]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.

[2]程麗.Bernstein-Kantorovich算子線性組合同時逼近的正逆定理[J].純粹數學與應用數學,2011,27(1):56-62.

[3]Cao J D.A Generalization of the Bernstein polynomials[J].J.Math.Anal.and Appl.,1997,209:140-146.

[4]Chang G Z.Generalized Bernstein-B′ezier polynomial[J].J.Comput.Math.,1983,1(4):322-327.

[5]Liu Z X.Approximation of continuous by the generalized Bernstein-B′ezier polynomials[J].Approx.Theory Appl.,1986,4(2):105-130.

[6]Zeng X M,Piriou A.On the rate of convergence of two Bernstein-B′ezier type operators for bounded variation functions[J].J.Approx.Theory,1998,95:369-387.

[7]Guo S S,Qi Q L,Liu G F.The central approximation theorem for Baskakov-B′ezier operators[J].J.Approx Theory,2007,147:112-124.

[8]劉國芬.Bernstein-Sikkema-B′ezier算子的點態逼近[J].數學的實踐與認識,2013,43(1):199-204.

[9]Guo S S,Liu L X,Qi Q L.Pointwise estimate for linear combinations of Bernstein-Kantorovich operators[J]. J.Math.Anal.Appl.,2002,265:135-147.

Pointwise approximation for a generalization of Bernstein-Kantorovich operators

Liu Guofen1,2

(1.College of Mathematics and Information Science,Hebei Normal University,Shijiazhuang050024,China; 2.Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications,Shijiazhuang050024,China)

We study the properties of approximation for a generalization of Bernstein-Kantorovich operators and prove the direct approximation theorem by the means of inserting term and the inverse theorem,namely the equivalence theorem.The results of the properties of approximation for this kind of operators are perfected.

generalized Bernstein-Kantorovich operators,modulus of smoothness,K-functional, direct and inverse approximation theorem

O174.41

A

1008-5513(2014)01-0032-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.006

2008-02-10.

國家自然科學基金(10801043).

劉國芬(1974-),博士,講師,研究方向:函數逼近論.

2010 MSC:41A25,41A26,41A36