次正定復(fù)矩陣次Schur補的一些性質(zhì)

鄭建青

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江寧波315211)

次正定復(fù)矩陣次Schur補的一些性質(zhì)

鄭建青

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江寧波315211)

利用復(fù)矩陣的Schur補和次正定性,研究了次正定復(fù)矩陣的次Schur補的一些性質(zhì),得到了次正定復(fù)矩陣次Schur補的幾個行列式不等式,將相關(guān)文獻的相應(yīng)結(jié)果由次正定次Hermite矩陣推廣到次正定復(fù)矩陣.

次正定復(fù)矩陣;次Schur補;次正定次Hermite矩陣;共軛次轉(zhuǎn)置矩陣

1 引言

復(fù)矩陣的次正定性是矩陣理論的重要組成部分,它的研究在矩陣理論或其應(yīng)用中,有重要的意義和應(yīng)用價值,并取得了諸多重要結(jié)果[1-4];矩陣Schur補在矩陣理論本身和統(tǒng)計學(xué)、數(shù)值計算等領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用,是近年來國內(nèi)外矩陣研究的熱點之一,同樣取得了重要結(jié)果[5-9].筆者將兩者結(jié)合起來,研究次正定復(fù)矩陣的次Schur補的一些性質(zhì),利用這些性質(zhì),探討次正定復(fù)矩陣次Schur補的一些行列式不等式.

在本文中,用Cn×n表示n階復(fù)矩陣集,表示A的共軛轉(zhuǎn)置,表示A的共軛次轉(zhuǎn)置,In表示n階單位矩陣,Jn表示次對角線上的元素均為1而其它元素為0的n階矩陣,|A|表示A的行列式,∥A∥表示A的行列式的模,記

A12為k(1≤k

由文獻[2-4],得到以下結(jié)論.

引理1設(shè)A,B∈Cn×n,有

(4)若存在可逆矩陣P∈Cn×n,使

2 次Schur補的性質(zhì)

定理1設(shè)

非奇異,則A關(guān)于A12的次Schur補:

證明因為由引理1得

由文獻[8]定理2.1,JnA關(guān)于Jn?kA21的Schur補:

從而

定理2設(shè)

證明由假設(shè),H(A12)可逆,令

則

定理3設(shè)

非奇異,則

證明由于

且

從而有

推論1設(shè)

非奇異,則

定理4設(shè)

證明

由恒等式[10]:

3 有關(guān)行列式不等式

引理2則對于充分小的ε>0,有并且當ε→0時,有

證明由對充分小的ε>0,顯然有.假設(shè)A的次特征值為其中存在n階酉矩陣U,使

那么

當ε→0時,

定理5設(shè)A,BB為半次正定次Hermite矩陣,則當n>2時,

證明當B為次正定次Hermite矩陣,由JnA>0,JnB為正定次Hermite矩陣及文獻[8]推論3.1得當n>2時,

∥JnA+JnB∥≥∥JnA∥+∥JnB∥,從而有∥A+B∥≥∥A∥+∥B∥;

例如若取次正定復(fù)矩陣:

次正定次Hermite矩陣:

那么

顯然n=3,且∥A+C∥=20≥∥A∥+∥C∥=5,結(jié)論也成立.

推論2設(shè)A,B為半次正定次Hermite矩陣,則當n>2時,

(1)∥A?B∥≤∥A∥?∥B∥;

(2)∥A∥≥∥B∥.

證明(1)因由定理5,當n>2時,

∥A∥=∥(A?B)+B∥≥∥A?B∥+∥B∥,

故∥A?B∥≤∥A∥?∥B∥成立.

(2)由(1),因∥A?B∥≥0,故∥A∥≥∥B∥.

定理6設(shè)

證明由定理1,由文獻[5]定理1,B為次正定次Hermite矩陣,可得為次正定次Hermite矩陣,從而

由定理4,

為n?k階半次正定次Hermite矩陣,由定理5,可得當n?k>2時,有

推論3設(shè)

證明(1)因

A=(A?B)+B,A12=(A12?B12)+B12,

從而有

(2)由(1)可知(2)成立.

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[7]劉建州,謝清明.矩陣廣義Schur補的復(fù)合矩陣的L¨owner偏序與奇異值[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2000,43(6):1071-1076. [8]袁暉坪.復(fù)正定矩陣的Schur補[J].高等數(shù)學(xué)研究,2000,3(2):33-36.

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[10]屠伯塤.線性代數(shù)方法導(dǎo)引[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1986.

Some properties for sub-Schur complement of the subde fi nite complex matrix

Zheng Jianqing

(College of Science,Ninigbo University,Ningbo315211,China)

Using the complex matrix property of Schur complement and subde fi niteness,Some complex matrix properties of sub-Schur complement are discussed,and its several determinant inequalities are obtained.The relative results of subde fi nite sub-Hermite matrix in reference have been extended to subde fi nite complex matrix.

subde fi nite complex matrix,sub-Schur complement,subde fi nite sub-Hermite matrix, conjugate sub-transpose matrix

O151.21

A

1008-5513(2014)01-0045-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.008

2013-09-08.

寧波大學(xué)科研基金(理)(xkl1323,XYL13008).

鄭建青(1975-),碩士,講師,研究方向：矩陣理論.

2010 MSC:15A60