二次函數的圖像和性質

王成娟

【摘要】我們知道，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的系數確定了（可以用待定系數法確定a、b、c的值），它的圖像和性質也就決定了；反過來當已知二次函數的圖象或它的一些性質，也可以求出它的字母系數的值或字母系數的范圍。

【中圖分類號】O122 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）03-0288-02

二次函數在初中數學函數教學中的地位非常重要，又是學生難于掌握的教材內容.它既聯系著一元一次方程、一元一次不等式，又是解決極值應用題的必要基礎.《二次函數》教學的重點為二次函數的圖像的性質及應用，教學難點為a、b、c與二次函數的圖像的關系.因此，必須想方設法使學生理解和掌握函數的圖像和性質.

一、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中的系數a、b、c及其意義

1.二次項系數a及其意義。二次項系數a不但決定了二次函數圖像的開口方向，（當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，其開口向下），它還決定開口的大小。也就是說，當二次函數a的絕對值相同時，這些拋物線的形狀完全相同，反之也成立。因此拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）可以由拋物線y=ax2（a≠0）平行移動得到。2.常數項c的意義。對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）來說，當x=0時，y=c，即拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）總是經過（0，c）。當c>0時，拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸；當c<0時，拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸；當c=0時，拋物線經過原點。反過來，當拋物線與時，拋物線經過原點。反過來，當拋物線與y軸的交點坐標已知時，其二次函數解析式中的常數項c的值也就決定了。

二、給出習題讓學生解：

二次函數y=2xy+bx+c與y軸的交點為（0，3），圖像的頂點A的坐標是（2，-1）。

1.求這個二次函數圖像與x軸兩個交點間的距離；

2.將此圖像向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到一個新的二次函數的圖像，求新的二次函數的解析式；

3.設新的二次函數的頂點為C，若以A為圓心，AC為半徑畫圓，與y軸交于點B，D，求Cos∠BAD的值.很多學生能利用已知條件畫出草圖，進行分析，從而能迅速得出：

（1）由題意：①a·0+b·0+c=3②-b/2a=2③（4ac-b）/4a=-1，并解得a=1，b=-4，c=3，順利地寫出了解析式y=xy-4x+3.

還有部分學生能根據條件：頂點坐標設出了y=a（x-2）-1的函數關系式，再以（0，3）代入即得a=1，得函數式y=（x-2）-1=x-4x+3.學生還能靈活地運用因式分解法把以上函數式寫成y=（x-3）（x-1）的形式，從而找到了函數圖像與x軸兩個交點的橫坐標，于是交點間的距離顯而易見，為|3-1|=2.

（2）把函數式寫成y=（x-2）-1后再按條件平移，實際上只要把頂點A（2，-1）向左平移2個單位，向上平移1個單位，得新的頂點坐標為C（0，0），也就不難得到新的函數解析式為y=x。

（3）以A為圓心，AC為半徑畫圓，則BD=2，AB=AD=BD，∴Cos∠BAD=3/5。

三、二次函數的對稱性與系數

由于關于某直線對稱或關于某點對稱的兩個圖形是全等形，故關于兩標軸對稱或關于拋物線頂點對稱的兩個拋物線的形狀大小也是一樣的，只是它們的開口方向或頂點坐標、對稱軸或它們與兩坐標軸的交點不同而已。因此，當已知一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），我們可以求出它關于兩坐標軸對稱或關于其頂點對稱的拋物線的解析式。

1.關于兩坐標軸對稱

（1）關于x軸對稱

求與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于x軸對稱的拋物線解析式時，由對稱性可知，它們的形狀完全一致，只是開口方向相反，與y軸的交點坐標由原來的（0，c）變為它關于x軸的對稱點（0，-c）。故其關于x軸對稱的拋物線解析式為y=-ax2+bx+c（a≠0）。這里的二次項系數a，一次項系數b和常數項c）正好與原來拋物線解析式的系數互為相反數。

（2）關于y軸對稱

求拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于y軸對稱的拋物線的解析式，這時它的形狀、開口方向與y軸的交點坐標都一樣，也就是二次項系數和常數項不變，只是對稱軸由原來的直線x=-y變成了直線x=y也就是一次項系數與原來拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的一次項系數互為相反數，故與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于y軸對稱的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）。

2.關于拋物線的頂點對稱的拋物線

求拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于其頂點對稱的拋物線的解析式，這時兩個拋物線的頂點、對稱軸、形狀完全一致，只是開口方向相反，故所求的拋物線解析式為：

y=-a（x+y）2+x=-a-bx+y

例5求拋物線y=x2-2x-3關于其頂點為中心對稱的拋物線的解析式。

簡析：拋物線y=x2-2x-3=（x-1）2-4，其頂點坐標是（1，-4），對稱軸是直線x=1。所以所求拋物線的解析式為：y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5

四、二次函數圖像的形狀、位置與系數的范圍

由二次函數圖像的一些特殊形狀、位置可以確定字母系數的數值或范圍。

例6已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸交于點A（1，0）和點B（b，0），（點B在點A的右側）。與y軸交于點C（0，2），請說明a、b、c的乘積是正還是負？

簡析：由題意，-x>0所以a、b異號，又因為函數圖像與y軸交于點（0，2），所以c=2>0，所以a、b、c的乘積是負數。

總之，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的字母系數a、b、c與它的圖像性質之間的關系相當密切，加強二次函數的字母系數的研究，對探討二次函數的圖像性質大有裨益。