淺談統計物理中最概然法和平均值法

許婷婷 陳云鵬

摘要：大學物理初學者很容易混淆最概然法和平均值法，這將影響大學生在統計物理學后續學習中的思路。本文分別從物理和數學兩個思維角度分析兩種方法的區別與聯系，闡述了兩種方法所蘊含的基本統計思想——特殊和平均。

關鍵詞：最概然分布法；平均值法；特殊；平均

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）18-0223-03

在平衡態統計物理中，主要有兩種普遍性的統計理論——玻爾茲曼分布理論和系綜理論。玻爾茲曼分布理論研究了孤立定域粒子系統的統計規律，而系綜理論研究了微觀相互作用粒子系統的統計規律[1，2]。一般地，玻爾茲曼分布理論適用于玻爾茲曼分布，而系綜理論適用于幾乎所有的系統。然而，在兩種理論的出發點上存在著一些很重要的區別，玻爾茲曼分布理論使用最概然分布方法，系綜理論使用了平均值法。

大學物理初學者很容易混淆這兩種方法的區別與本質，導致對后續統計物理學相關問題的研究思路產生了極大的阻礙，但是目前幾乎所有相關教材都沒有清晰地解釋這個問題。很多學生會認為這兩種方法之間并沒有顯著的區別，都使用了等概率原理。但實質上，滿足這兩種方法的基本條件以及兩種方法所蘊含的思想都是不同的，下文將會從物理和數學兩種角度探討兩種方法之間的主要區別、聯系及其思想本質。

一、物理意義分析

玻爾茲曼分布也稱最概然分布，其認為一個系統的宏觀量是當微觀狀態出現最多時的微觀量的統計值，然而系綜分布認為一個系統的任意宏觀量是當一定的宏觀條件任意給定時相應的所有可能微觀量的一個統計平均值[3]。事實上，對于玻爾茲曼分布，偏差的分布是非常小的，與最概然分布微觀狀態數相比其微觀狀態數幾近為零，這意味著最概然分布微觀狀態數相當接近所有可能的微觀狀態數。由此，認為平衡態系統中的孤立系統粒子處于玻爾茲曼分布是合理的，其誤差可以近似忽略。與此同時，在一個系綜里，相對漲落也是很小的，因此其概率分布函數有一個非常陡峭的極值曲線，所以一個子系統的微觀狀態的相應宏觀量的最可能值大體上與統計平均值相等。

玻爾茲曼統計運用了最概然分布法，系綜統計應用了平均值法，我們可以通過兩種方法很接近地推導出系統的分布狀態，但是兩者基本的數學原理是不同的。前者近似地以最概然值替代分布的微觀狀態的統計值，而后者認為一個系統的統計值粗略的與平均值相等。

兩種分布圖如圖1所示，很明顯的，最概然分布看起來就像一個點的分布，系綜分布的圖與最概然分布很相似。但是當能量E被限制在橫軸上很小的范圍上時，系綜分布曲線的曲率其實還是很小的，這段曲線就像一個平行于橫軸的小段，由于能量差ΔE此時小，以致這個小段在整個分布上看起來像一個點，這意味著平均值與最概然值近似相等。所以，兩種統計分布的曲線也很相似。

二、數學分析

1.最概然分布法。為了清楚的理解系統的分布情況，我們通常會引入能級分布，定義為al，表示能級l上占據的微觀粒子數。介紹過al后，一個玻爾茲曼系統的總微觀狀態的一般形式即：

Ω= （1）

考慮到在一個孤立系統中存在的兩個分別與粒子數量、能量相關的限制條件：

N=∑a （2）

E=∑aε （3）

應用斯特林公式并引入拉格朗日算子，會得到：

a=e （4）

根據求解平均值的原則，會有al的統計平均值的表達式如下：

= （5）

同時，改變Ωl的形式：

Ω=ωωω…ω… （6）

在（4）式中，εl表示衰減因子，（5）式可以寫作為：

=ω （7）

并且，會有：

-（）=+ω （8）

（8）式中最后一項為偏差因子。結合以上分析，當N趨于無窮時，這個偏差因子與al的統計平均值相比可以忽略不計，以致可以采取以下近似：

-（）==a （9）

這個表達式暗示著這個偏差及漲落屬于正態分布的情形。

因此，當N和al的統計平均值趨于無窮時，這個近似處理意味著，雖然對于最概然分布存在著一個偏差分布，但是與最概然分布的微觀狀態數相比，偏差分布的微觀狀態數幾近為零，這也意味著最概然分布可以描述孤立定域粒子系統的分布。

2.平均值法。如上述部分所述，我們知道εl除了應該滿足（3）式之外，還會有其他的限制條件，且在一個系綜里會有一點不同，因此總能量需要滿足表達式：

H=E （10）

H是由廣義坐標和廣義動量決定的哈密頓能量。

與（6）式類似，在一個系綜里，會有：

∑Ωl=ωωω…ω… （11）

為了（11）式計算方便，我們暫時不考慮除此之外的第二個以及更多的限制條件，并做出如下定義：

f（Z）=∑ΩlZ （12）

其中Z是一個任意的復數，根據留數方法，使用最速下降法可以得到：

∑Ω=Zf（Z）dz （13）

當z在正實軸上移動，將會存在Z0，使被積函數的一階偏導等于0，二階偏導是一個可以按期望賦值很大的數值。現在，由賦予一階偏導為零的條件推導Z0的值，構造函數g（Z）如下：

e=Zf（Z） （14）

接下來，可以得到一個系綜里微觀粒子的平均數量：

=ωg′（Z）+-lng（Z） （15）

取平均能量：

U= （16）

當N和E趨于無窮時，平均能量U是不會變化的。根據以上公式變換，在一個系綜里可以得到：

-（）=ω

ωg′（Z）+-lng（Z） （17）

在這個表達式中，由前面推倒可知：g（Z0）的一階偏導等于0，右側括號中最后一項的大小與其他項相比可以忽略不計，經過變形可以得到：

-（）=ω （18）

在坐標空間，Z也與ωl相關，因此這個微分式變成：

-（）=+ωN-+ - （19）

令所有ωl取值為1，（19）式經過變形會得到：

-（）=1+（ε-U）- （20）

觀察上述表達式右側中括號內的項，當N和al的統計平均值趨于無窮時，相對漲落會趨于0。

通過第1部分和第2部分的分析可知，不管是在最概然分布還是在系綜分布里，當N和al的統計平均值趨于無窮時，分布曲線變得非常陡峭，相對漲落會趨于0，平均值、最可能值或者概率不等于0的其他值都是一樣大的，這也就是系綜統計的結論在玻爾茲曼分布中可行的原因。

三、結論

通過前面的部分，我們知道在最概然分布法與平均值法之間存在很多相似性，兩者都應用了統計近似和等概率原理。然而，包含在兩種方法中的思想是有一點不同的，當使用最概然分布法時，我們認為最可能值或者數學極大值可以替代系統分布的相關統計值，而系綜包含了很多的系統，因此相比最概然分布法，平均值法更適合于系綜。而本質上，兩種方法正代表了兩種重要統計思想——特殊與平均。

參考文獻：

[1]汪志誠.熱力學與統計物理學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]林宗涵.熱力學與統計物理學[M].北京大學出版社，2007：250-271.

[3]E.薛定諤.統計熱力學[M].徐錫申，譯，陳成琳，校.北京：高等教育出版社，2014：33-59.