如何提高“數形結合”的解題能力

摘 要：分析“數形結合”能力提高的策略，一是如何以數定形；二是在圖形中如何實施動靜互化，切實有效地提高“以形助數”的能力。

關鍵詞：以形助數；以數定形；動靜互化

“數形結合思想”是高考中重點考查的數學思想，但在平時考試中，很多學生往往想不到用“數形結合思想”去解題。原因何在呢？如何落實“數形結合思想”的解題能力呢？

一、反思“數形結合”能力不足的原因

1.源于學生的因素：（1）學生受困于“以數定形”能力的缺失，不會畫圖形，沒有圖也就談不上“以形助數”解決問題了；（2）缺少用運動變化的觀點看待運動變化全過程的意識，使得把握“動靜結合”解決問題的能力不足。

2.源于教師的因素：（1）平時教學中，教師只注重對解題思路、方法的分析，所以往往直接為學生畫出圖形，導致學生畫圖能力缺失；（2）教師在用“以形助數”解決問題時，沒有很好地引導學生去觀察運動變化過程中的一些不變量、不變關系和特殊關系，使化動為靜、動中找定能力不足。

二、舉例說明提高“數形結合”能力的方法策略

1.培養“以數定形”的能力

例1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b=1，∠B=■．求△ABC面積的最大值。

解析：（1）先讓學生嘗試根據題中條件畫出兩個動態圖形：一是固定角B的頂點，讓長為1的邊AC運動；二是固定長為1的邊AC，讓∠B的頂點運動（由于∠B大小不變，故知點B在一個圓上運動）；（2）再根據本題的解題目標——即求△ABC面積的最大值，討論哪一個圖形更容易解決該問題。

評注：“一動一靜”是“以形助數”解決問題時，所畫圖形必須具備的重要特征，而且動點的軌跡在圖形中必須是清楚的。

2.培養“動靜互化”的能力

例2.放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上滑動，則■·■的最大值是（）

A.2 B.1+■ C.πD.4

解析：正方形ABCD分別在x軸、y軸上滑動，導致多個點都在動，問題難以入手，現在我們換個角度，因為運動是相對的，所以問題就可以等價看作正方形固定，原點O以AD為直徑作半圓周運動，那么問題就轉化為只有點O是動點，且在以AD為半徑的半圓周上運動，從而大大減少了思維量。若再取BC中點E，連結OE，則由極化恒等式可得■·■=■2-■2=■2-■，問題便轉化為求■的最大值了。顯然當OE連線過圓心時，取最值。所以（■·■）max=2

評注：根據運動的相對性，化動為靜，化靜為動，在動靜互化中揭示出問題的本質，降低解題難度。

參考文獻：

［1］馮菊英.動中找定 巧妙解題［J］.中學教研，2012（1）.

［2］夏敏，鄭迪華.高考中的數形結合思想［J］.中學教研，2012（2）.

（作者單位 浙江省溫州市蒼南縣宜山高級中學）

編輯 孫玲娟