環槽等速傳動嚙合副磨損補償平衡研究

于秀濤，姚方方

（黃河交通學院 汽車工程學院，河南 焦作 454950）

1 引言

環槽等速傳動機構能夠解決擺線鋼球行星傳動減速嚙合副的偏心問題，且能夠實時消除嚙合副磨損間隙，實現機構的無隙嚙合傳動，使擺線鋼球行星傳動成為精密傳動中非常重要的高性能傳動裝置，在精密機械如機器人、機械手、伺服傳動機構、航空航天等經常頻繁往復工作的傳動機構中具有很好的應用前景[1-2]。

國內外學者對安裝有環槽等速傳動機構的擺線鋼球行星傳動進行了較多的研究。文獻[3-5]對擺線鋼球傳動結構組成、傳動原理、行星運動學分析、齒形綜合方法、齒廓曲線解析式等進行了較深入的理論研究。文獻[6]在建立理論分析數學模型的基礎上，分析了減速嚙合副在嚙合傳動過程中相對滑動速度和滑動率的變化規律，并繪制了變化曲線圖；文獻[7]建立嚙合副兩點接觸力學模型，推導出機構彈性回差公式，并分析參數對彈性回差的影響；文獻[8]用陶瓷球代替鋼球進行了相關理論分析與結構設計；文獻[9]建立了擺線鋼球傳動嚙合剛度模型，分析了結構參數對嚙合剛度的影響規律，并利用擺線鋼球嚙合副的嚙合剛度推導出行星傳動部分的等效扭轉剛度計算公式。目前為止，尚未有文獻對擺線鋼球行星傳動等速嚙合副磨損后的軸向間隙消除（補償）實現傳動機構的精密傳動進行研究，未有文獻支持機構磨損后能夠實現精密傳動這一結論。

利用力學中超靜定方法，通過變形協調方程和力矩平衡方程推導嚙合點法向力計算公式，求得行星盤和輸出軸上的嚙合點速度以及鋼球中心的速度，獲得嚙合點滑動速度，得到嚙合點磨損率計算公式，將每次運行產生的磨損量代入法向力計算公式，獲得法向力循環計算公式，并定義法向力變化率和磨損率變化率，以描述嚙合副的磨損規律。

2 嚙合力計算

受力分析，如圖1所示。利用機構轉化法，將輸出軸固定，行星盤做平動。在輸出軸上建立相對坐標系XO1Y，利用力學中超靜定的方法，對鋼球系加一個順時針方向的力矩M0，傳力接觸點法向接觸變形為δj鋼球系整體轉角為Δα0。受力分析，如圖1所示。變形協調方程為：

式中：lj＝Rwsinφj

接觸點法向力為：Nj＝kg0

式中：kg0—嚙合點剛度系數[10]。

圖1 受力分析圖Fig.1 Force Analysis Diagram

根據行星盤的力矩平衡方程，可得：

式中：Z—鋼球數

3 嚙合點滑動速度計算

嚙合點位置，如圖2所示。根據等速機構的平行四邊形原理可知，等距線之間的距離必須與輸入軸偏心距e相等，才能夠實現機構的等速傳遞。為了保證機構有一定的承載能力，嚙合點不在等速線上，嚙合點處存在滑動。在對等速機構嚙合點滑動速度進行分析時，認為鋼球幾何中心與理論位置點重合。鋼球與輸出軸在A點相切，鋼球與行星盤在D點相切，Oqj為鋼球中心。

圖2 嚙合點位置圖Fig.2 Meshing Point Location Map

鋼球幾何中心Oqj的切向速度為：

式中：ω—輸入軸角速度，ω＝iωc；ωc—輸處軸角速度；i—傳動比。

輸出軸上A點切向速度為：

行星盤上D點的切向速度為：

由以上三個式子可知兩嚙合點的滑動速度之和為：

由上式和式（2）、式（3）、式（4）聯立，可得兩嚙合點的滑動速度之和為：

嚙合點在等速線上嚙合副能夠實現純滾動。此時，機構環形槽內側無法承載，機構不能夠實現精密傳動。因此，為保證機構的連續傳動，嚙合點滑動速度之和始終為負值。由于行星盤與輸出軸上嚙合點處機構形狀尺寸相同，則根據滑移理論，認為兩嚙合點處的滑動速度相同，均為Δv1/2。

4 環槽磨損分析計算

4.1 磨損率計算

磨損深度變化率Δδ′為：

式中：p—Nj名義壓力，p=Nj/Sj，Sj名義面積，法向力；E—綜合彈性系數；k1—磨損系數；σp—符合標準差；1/Rp—復合平均曲率。

4.2 循環迭代計算

在第n次循環時，接觸點法向力為：

式中：t—次循環內接觸點參與磨損時長

輸出力矩與法向力產生的力矩相平衡，可得：

令：f（φj）=（Δαnljcosβ-Δδjn）3/2

將上式在φj=π/4處泰勒展開，得：

將式（10）代入式（9），可解得Δαn，將式 Δαn代入式（7）得前半周期法向力具體表達式。

法向力變化率定義如下：ηfn=（Njn-Nj（n-1））/Nj（n-1）

磨損率變化率定義如下：ηmn=（δjn-δj（n-1））/δj（n-1）

步長不同得到的磨損率變化率不同，隨著步長的增加變化率變大。因此在精度達到計算要求的情況下，步數應取較大值，以減少計算量，取步長λ=300轉。

5 磨損補償平衡分析

兩嚙合點處尺寸參數相同，則在計算過程中，假設滑動速度平均分配。嚙合點產生的磨損量與機構尺寸相比較小，則在迭代過程中，認為速度不發生改變。

法向力在每一次磨損之后均發生變化，多次磨損之后法向力變化率趨近零，如圖3所示，曲線關于φj=π對稱。循環過程中變化率始終為零的點對應轉角為φj=1.382rad、φj=2.892rad、φj=3.391rad、φj=4.902rad，在區間（1.382，2.892］∪（3.391，4.902］內，法向力變化率ηjn為正值，隨著循環次數的增加各點變化率不斷減小，經過多次循環之后趨近于零；在區間（0，1.382］∪（2.892，3.391］∪（4.902，2π］內，法向力變化率 ηfj為負值，隨著循環次數的增加各點變化率不斷增大，經過多次循環之后趨近于0。

圖3 法向力變化率變化圖Fig.3 Variation of Normal Force

磨損率變化率隨循環次數的變化，如圖4所示。由圖可知，磨損率變化率的變化規律與法向力變化率的變化規律相似。在循環計算過程中，變化率始終無變化的點為（1.382，0）、（2.892，0）、（3.391，0）、（4.902，0）。在區間（1.382，2.892］∪（3.391，4.902］內，ηjn為正值，經過多次循環之后趨近于零；在區間（0，1.382］∪（2.892，3.391］∪（4.902，2π］內，ηfj為負值，經過多次循環之后趨近于0。

圖4 磨損率變化率變化規律Fig.4 Variation Rate of Wear Rate

磨損率在一個步長內接觸點參與接觸的時間乘積為恰為鋼球系轉過Δαn各鋼球中心產生的法向移動量δjxy，此時已經達到了一個平衡狀態，將該狀態稱為磨損補償平衡。所謂磨損補償平衡就是在一定軸向力作用下，在一個步長內各接觸點產生的磨損量與鋼球系轉角增加量經多次循環迭代之后均達到定值，且該磨損量與鋼球系轉角增加而產生的鋼球中心移動量δj相等。在該平衡狀態下各嚙合點不會因為滑動速度大、名義壓力大而產生足夠的磨損量使該處產生間隙，即各嚙合點不間斷參與嚙合。輸入軸每旋轉一次，嚙合點法向載荷重新分配。在一嚙合區處，滑動速度大、名義壓力大，則磨損率大，磨損越嚴重。在運轉過程中該處名義壓力減小，磨損率有所下降。滑動速度小、名義壓力小的嚙合區在嚙合點法向載荷重新分配后，法向作用力增加，磨損率必然增加。嚙合副再磨損，法向力再分配，最終達到平衡狀態，該狀態下各嚙合區磨損率不再發生變化。此時輸出軸在恒定的軸向力作用下，減小行星盤與輸出軸之間的距離，補償嚙合點產生的磨損，實現等速傳動機構的實時無隙精密傳動。

6 結論

在運動過程中不存在兩嚙合點均為純滾動的情況，根據滑移理論認為兩嚙合點出的滑動速度相等。在初始磨損階段，一周期內的磨損率變化率只存在四個為零的固定點，在部分區間內大于零，在部分區間內小于零。嚙合點經過較多次磨損之后，磨損率變化率趨近于零，磨損率趨向于一穩定值，等速傳動機構進入穩定磨損階段。在穩定磨損階段之后的每一次磨損中，由于轉角Δα增加而產生的各點法向移動量與各點產生的磨損量相等，達到一種動態的磨損補償平衡狀態。該狀態下每一迭代產生的磨損量可由轉角增加量產生的法向移動量補償，實現等速輸出機構的實時無隙精密傳動。