拮抗變剛度關節驅動器設計與特性分析

周建軍，李 靜，胡 濤，尚輝輝

（杭州電子科技大學 機械電子工程研究所，浙江 杭州 310018）

1 引言

關節驅動器是機器人的核心組成部分[1]，其設計的好壞直接決定機器人的整體表現。由于傳統機器人在功率質量比、力質量比、柔順性等方面與人存在很大的差距，以至于在運動性、安全性、能量利用率上無法達到要求；為了從根本上增強人機交互的安全性和對環境的適應性，柔順關節驅動器逐漸成為研究的熱點。

驅動器的柔順性根據實現方法可分為主動柔順和被動柔順：（1）主動柔順是指通過軟件程序定義驅動器的柔性，使驅動器表現出具有類似于理想彈性元件的行為特性；（2）被動柔順是指在傳統剛性驅動器中引入彈性元件或彈性機構（如扭簧等），使該驅動器具備了類似于彈性元件的固有柔性特性[2]。

國內外已有很多關于驅動器方面的研究。在1995年，文獻[3]提出SEA（SeriesElasticActuators）的概念，如今發展到VSA（Variable Stiffness Actuators）[4]，即變剛度驅動器。變剛度驅動器通過將簡單的彈性元件或復雜的彈性機構與傳統的驅動器組合，實現預先設計的變剛度特性。其優點在于使得驅動器具備了柔性的特點，增強驅動器的安全性，減弱外界沖擊，內置彈性元件使系統具有儲能和釋放能量的特點；但彈性元件的引入增加了系統的復雜性，對系統控制和穩定性提出了更高的要求。國外已有一批代表性的成果，根據不同的剛度調節原理將所設計的成果概括為四類：（1）平衡位置控制變剛度[5-6]；（2）仿生拮抗作用變剛度[7]；（3）有效彈性物理結構變剛度[8]；（4）彈性結構預調整控制剛度[9]。盡管國內變剛度驅動器的研究起步較晚，但也有不少成果，如可變剛度柔性關節和多指靈巧手等。在前人研究基礎上，設計一種仿生拮抗變剛度關節驅動器，該驅動器由雙驅動電機、彈性元件及帶輪等零件組成，可以得到良好的剛度變化特性，適用于不同載荷應用環境，具有一定的儲能能力。

2 拮抗變剛度驅動器結構設計

2.1 拮抗驅動原理

拮抗驅動最典型的例子就是肘關節的肱二頭肌和肱三頭肌。肱二頭肌和肱三頭肌是一對既拮抗又協調的屈肌和伸肌，一方收縮，另一方放松，或一方放松，另一方收縮，通過兩者相互之間的收縮與放松，實現肘關節的屈伸運動。對現有仿生拮抗柔順驅動器分析可知，拮抗驅動的主要實現形式是人工氣動肌肉拮抗驅動、液壓伺服拮抗驅動和電機彈簧拮抗驅動。由于氣動肌肉驅動和伺服驅動本身的粘彈特性，控制問題很難實現，綜合考慮，采用電機彈簧拮抗驅動。

2.2 變剛度原理

變剛度機構是仿生關節的關鍵組成部分，是區別于傳統剛性驅動器的重要部件，能夠直接影響關節的變剛度性能。由于彈性元件的引入，變剛度機構應該具有非線性特性。以彈簧為例，其中，xOA和xOB分別代表左右彈簧變形后的長度，x代表彈簧初始長度。

假設1：兩個彈簧為線性彈簧，具有相同的彈性系數k，且分別由兩個電機獨立控制，這時中心塊受到的合力為：

根據剛度定義，該驅動模型輸出剛度K：

由上式可知，系統的剛度為一個常數，與彈簧的形變量無關。因此，此種機構無法實現剛度可調。

假設2：彈簧為非線性（彈簧的剛度K隨彈簧形變量的變化而變化），假如k（x）具有拋物線特性，中心塊的受力如下：

根據剛度定義：

上式表明，系統的剛度與彈簧的形變量有關且呈線性關系。

由上述假設可知，機構具有變剛度特性的必要條件是驅動器中的彈性元件為非線性。

本結構用彈性張緊裝置替換傳統帶傳動中的高剛性的張緊裝置[10]，而同步帶在彈性張緊輪作用下受力張緊，同時，同步帶將壓迫彈性張緊裝置產生變形，利用張緊裝置變形過程中表現出來的非線性特點，進行拮抗變剛度驅動器的設計。

2.3 拮抗變剛度關節驅動器結構設計

圖1 變剛度驅動器模型Fig.1 Model of Variable Stiffness Actuator

一般的拮抗驅動，其單向張緊的特點使得關節活動范圍受彈簧有效長度的限制，且其驅動力矩受限于單個動力源的最大驅動力矩。為了克服單向拮抗驅動的局限性，在相互拮抗的動力源之間引入第三個彈性元件，實現循環轉動。基于以上原理，設計了三維模型，如圖1所示。該驅動器模型包括舵機，同步帶輪，同步帶，聯軸器，軸承座，線性彈簧，張緊裝置，連桿及連接件。其中，兩個舵機固定于機架背部，并通過聯軸器分別連接帶輪1、2，再通過同步帶實現三個同步帶輪之間力和運動的傳遞，連桿與帶輪3連接；張緊裝置由三個間隔120°的張緊輪構成，并通過軸承座約束，分別用相同的線性彈簧提供張緊力。

3 數學模型建立與靜態剛度特性分析

經過設計計算，同步帶輪分度圓直徑d=26.7mm，同步帶長=363mm以及張緊彈簧的自由長度H0=35.62mm。根據這些參數，對拮抗變剛度驅動器進行準確的數學建模，并以此模型對驅動器進行靜態剛度特性分析，并為后面的動態性能仿真提供模型基礎。

3.1 數學模型

剛度即單位形變量所需要的力或力矩，剛度特性則定義為驅動器輸出力矩T與轉角θ3之間的關系，即K=?T/?θ3。帶輪a、b分別代表驅動輪和輸出帶輪，且關于張緊輪移動副軸心線對稱分布，同步帶受張緊輪的作用力F發生內凹，此時同步帶與垂直線形成銳角α，為了方便數學模型的建立，對張緊輪半徑r做了近似處理：r≈0，且忽略同步帶實際傳動過程中，帶齒與輪齒嚙合間出現的滑齒。

各幾何尺寸的含義分別是：初始夾角α0、輪間同步帶初始長度l0、帶輪半徑R、帶輪中心距ɑ0，如圖2所示。

圖2 驅動器結構示意圖Fig.2 Diagram of Actuator’s Structure

輪a對輪b的力矩Tab為：

式中：k—張緊彈簧的彈性系數；R—同步帶輪的半徑，且三個帶輪一致；hab—t時刻對應的彈簧形變量；c0、c1—張緊輪和同步帶的接觸點在初始時刻和t時刻與帶輪圓心連線的距離；l0、l—初始時刻和t時兩帶輪之間同步帶的長度。驅動器的扭矩T為：

根據剛度定義，扭矩T對輸出轉角θ3求導即為剛度，即：

3.2 驅動器靜載剛度特性分析

驅動器關節靜載下的剛度特性是指當關節上加載緩慢勻速的角位移時，驅動器所表現出來的剛度變化規律；t時刻的驅動器的靜態剛度可簡單的理解為驅動器空載剛度的基礎上，在外部靜載的作用下引起的剛度變化，此時的剛度由驅動輪運動規律（θ1，θ2）和負載運動規律θ3兩部分決定的。

在圖示所示2幾何中，根據它們之間存在的幾何關系計算化簡之后可得=363mm，R=13．35mm，a0=78mm，解得 α0=59．62°，l0=99．79mm。

將上述參數代入式（7）中，可以得到該驅動器剛度特性的數學模型，然后在MATLAB中進行靜態剛度特性分析，其曲線，如圖3所示。

圖3 靜態剛度特性圖Fig．3 Static Stiffness Characteristic Diagram

在不同空載剛度下，受到靜載作用時所表現出來的剛度變化規律一致。通過對比發現，隨著δ值的增大，驅動器的最小剛度隨之增大，且預留給θ3的角位移量變小，即回驅角區間將減小，乃至于消失（當 δ=1．0°時）。以 δ=0．2°為例，當 θ3≤0．7rad 時，隨 θ3的增大，驅動器的剛度變化并不明顯，說明當驅動器受到撞擊時，在該區間內驅動器有一個較大的回驅角度，可有效的保證驅動器和使用者的安全；當θ3＞0．7rad時，驅動器的剛度特性近似于指數型變化規律，在該區間里，驅動器在快速達到較高的剛度，近似剛性的狀態。

隨著空載關節初始剛度的增加，即圖3中從右向左δ的增加，驅動器的回驅角區間將減小，乃至于消失（當δ=1．0°時）。一個合適的回驅角區間對驅動器的安全性和動態性能影響較大。

4 驅動器動力學分析

4.1 動力學模型

對系統進行動力學分析，系統的動力學方程如下：

式中：IR—驅動軸上的轉動慣量；J—輸出端轉動慣量；β—驅動軸上的等效阻尼；m，L—輸出桿的質量和長度；θ1、θ2、θ3—三個帶輪的角位移；T12、T13、T23—同步帶對帶輪的扭矩，且規定逆時針方向為正方向；T1、T2—電機的控制扭矩；τe—外部負載扭矩。

系統的拉格朗日方程，動能及勢能如下所示：

系統除了受有勢力作用之外，同時還受到非有勢力M1，M2的作用，系統是兩自由度機械系統，通過拉格朗日方程建立該系統的運動微分方程，表達式如下：

4.2 動力學仿真與實驗驗證

在ADAMS中，建立驅動器模型并搭建小球撞擊實驗平臺，為了更好的反映驅動器在蓄能方面的能力，取轉角差δ=0°和轉角差δ=15°進行小球與驅動器連桿碰撞實驗模擬，觀察碰撞之后小球的平拋運動；虛擬樣機實驗平臺得到，如圖4所示。

圖4 驅動器虛擬樣機模型Fig．4 Model of Actuator Virtual Prototype

通過觀察小球落在地面上的距離可知，柔性狀態下小球平拋得更遠，這得益于連桿與小球碰撞接觸時能量的傳遞；連桿獲得的能量以彈性勢能的方式儲存在彈簧中，柔性狀態下良好的儲能特性使得小球在平拋運動中的水平位移增加；而且撞擊過程中都有一定的回驅現象，實驗說明該驅動器在發生撞擊時具有一定的安全性。

為了驗證仿真結果的可靠性，制作實驗樣機并搭建實驗平臺，進行小球撞擊實驗。該實驗室為對比實驗，連桿從同一角度，在不同的剛度條件下，以相同的速度變化規律擺動撞擊小球。

圖5 小球撞擊實驗Fig．5 Test of Ball Impact

撞擊實驗結果，如圖5所示。轉角差δ=0°對應于2cm的水平位移，而轉角差δ=15°對應于8cm的水平位移。產生該現象的主要原因是在撞擊時，剛度不同且兩次撞擊發生了回驅現象。由于彈性元件的儲能，小球平拋得更遠，且初始剛度是δ=0°時，回驅角度大，傳遞給小球的動能小；通過該實驗說明驅動器在發生撞擊時，具有一定的儲能性和安全性。

5 結論

根據變剛度驅動器的系統組成，以及生物體關節拮抗驅動原理，設計了一種兩自由度變剛度關節驅動器；通過對驅動器數學模型的推導演算，得到了該驅動器剛度變化特性，分析了剛度變化與轉角的關系，說明該驅動器具有變剛度特性和儲能特性；通過對比實驗，初步驗證了驅動器良好的儲能特性和安全性，實驗結果與理論模型基本一致。最后，研制了一臺拮抗變剛度驅動器樣機，用該驅動器進行簡單的小球撞擊實驗，初步驗證了驅動器良好的儲能特性和安全性。