典型零件形體的熱變形模型及其有限元仿真

金少搏，趙鳳霞，李紀峰

（鄭州大學 機械工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

隨著精密技術的精度不斷提高，溫度變化帶來的影響愈來愈大，甚至成為制約精度的決定因素，并使傳統的熱變形誤差理論失去作用[1]。近年來，文獻[2-5]中對軸類、孔類零件在均勻溫度場和非均勻溫度場下的熱變形規律進行了研究和探索。文獻[6]中以有限元為工具，研究了穩態場下圓柱筒尺寸變化規律；文獻[7]中基于ANSYS對主軸熱變形進行了建模與預測分析；文獻[8]中對模塊化工具系統中非線性溫度下的主軸熱變形位移量進行了數學建模，并提出了補償模型。但以上研究大都針對孔軸零件進行熱變形研究，對球類、板類零件研究較少。基于彈性力學和熱力學建立了典型零件形體的熱變形數學模型，基于ANSYS有限元分析軟件對典型零件形體的熱形誤差及其分布進行了仿真，并進行了實驗驗證，最后進行了實例應用分析。

2 典型零件形體的熱變形模型

圓柱孔類、軸類、板類、球類零件是機械結構中的典型的基本零件形體。以上典型零件形體為例，建立零件的熱變形數學模型。

2.1 圓柱軸類零件的熱變形模型

圖1 軸類零件示意圖Fig.1 The Shaft Parts Diagram

假設實心圓柱的半徑為R。彈性模量為E，泊松比為v，材料熱膨脹系數為α。圓柱處于溫度場T中，溫度T對稱于中心軸線，并與軸向坐標z無關。受溫度變化的圓柱所產生的應變包括兩部分，一部分是受熱后材料的熱膨脹引起的，另一部分是由應力引起的。

在圓柱上取微元進行分析，如圖1所示。設σr、σθ、σz分別是徑向、環向和軸向的應力分量，τθr、τθz、τrθ、τrz、τzθ、τzr為對應的剪應力。應力平衡方程為[9]：

式中：Xr、Yθ、Zz—r、θ、z方向每單位體積的體力。

因為考慮到軸對稱和沿軸向的均勻性，零件溫度變化僅為r的函數，τθr、τθz、τrθ、τrz、τzθ、τzr都是零。一般地，物體的重力是唯一的體力，在不考慮零件自身重力和殘余應力情況下，應力平衡方程可簡化為：

設 εr，εθ，εz分別是圓柱徑向、環向和軸向的實際應變，則由應力引起的應變為：

首先假設圓柱兩端為自由端，溫度變化引起的軸向位移w=0，則 εz=0。由式（3）可得：

σz=v（σr+σθ）-αET （4）

代入式（3）得：

設ur是圓柱受熱后產生的徑向位移量，則有：

將式（4）、式（5）代入式（2）得：

對式（7）進行積分得：

將式（8）代入方程（6），再將所得結果代入式（5），得到：

式中：C1、C2—積分表達式常系數，須由邊界條件確定。

在r=0時，為使徑向位移在圓心為0，由式（8）可知，C2必須為0。在圓柱邊緣，當r=R時，假設曲面不受力，即σr=0，由式（9）可以求得其常系數

式（8）是假設軸向位移w=0得到的，實際中，溫度的變化也會產生軸向位移，使w≠0。為使w=0，需要在圓柱兩端施加滿足按式（4）分布的軸向力，使總的軸向力為0，所施加的軸向力也將產生徑向位移。因此，需要去掉由于軸向力影響而產生的徑向位移，式（8）變為：

將 C1、C2、σz代入式（11），推得由于溫度變化所產生的圓柱徑向位移u′r為：

2.2 圓柱孔類零件的熱變形模型

假設圓柱孔類零件的內徑為R1，外徑為R2，內表面溫度為T2，外表面溫度為 T1。

由邊界條件知，在兩個半徑處σr=0，由式（9）可以求得C1、C2：

將C1、C2、σz代入式（10），得到圓柱孔零件由于溫度變化所產生的徑向位移為：

傳統的零件熱變形量計算公式為[10]：

Δd=d0αΔT（13）

很明顯，式（13）中，由于溫度變化引起的直徑變形量只與孔的內徑d0有關，與其他的幾何尺寸沒有關系，存在著很大的近似性，而式（12）則表明內徑變化量與孔型零件的內徑、外徑和材料的特性等參數有一定的函數關系。

2.3 板類零件的熱力學模型

假設矩形板類零件的長度為L，寬度為W，厚度為H，上表面溫度為T2，下表面為T1。以該板的幾何中心為原點，建立坐標系，如圖2所示。

圖2 板類零件的坐標系圖Fig.2 The Coordinate System Diagram of the Plate Parts

根據零件的結構特征，可得高度z處的溫度分布函數為：

2.4 球類零件的熱力學模型

設實心球零件的半徑為R，表面溫度為T0，由于內外溫度差比較小，可以看做等溫體處理，即溫度T=T0，其熱變形方程為[12]：

對于空心球類零件，設內徑為r1，外徑為r2，內表面溫度為T1，外表面溫度為T0，根據空心球類零件的結構特征，可得出其相對于r的溫度分布函數：

得到空心球零件的徑向位移為：

注：限于篇幅，球類、板類零件熱變形模型不再詳細推導。

3 實驗驗證及應用分析

3.1 實驗驗證

現采用ANASYS軟件對圓柱孔和軸類、板類零件進行熱變形仿真，并利用中原精密儀器公司生產的Z600高精度檢測儀器，對實際零件進行了熱變形實驗測量，實驗裝置，如圖3所示。其檢測精確度為1μm。

圖3 實驗裝置圖Fig．3 The Figures of Experiment Installing

圖4 直徑為50mm的圓柱軸在100℃的熱變形云圖Fig．4 The Hot Deformation Nephogram of Cylindrical Shaft with a Diameter 50mm at 100℃

該試驗件材料均為45#鋼，線膨脹系數α=12×10-6/℃，彈性模量 E 為 206GPa，泊松比 v=0．3，標準室溫為 20°C，工作溫度范圍（30～100）°C，以 10°C 為間隔進行仿真，從而得到不同溫度下圓柱孔和軸的熱變形云圖。典型零件的熱變形云圖，如圖4～圖6所示。分別記錄不同溫度下的最大變形量，結果如表1～表3所示。同時用上節所得到的熱力學模型計算熱變形量的理論值，如表1～表3所示。最后將實驗測量實驗數據也記錄在表中。

圖5 內徑為50mm外徑為100mm的圓筒在內表面溫度為90℃的熱變形云圖Fig．5 The Hot Deformation Nephogram of the Hole with Inner Diameter 50mm and Outer Diameter 100mm，the Surface Temperature at 90℃

圖6 長為50mm，寬為40mm，高為30mm的板在上表面溫度100°C的熱變形仿真圖Fig．6 The Hot Deformation Nephogram of the Plate with Length 50mm，Witdth 40mm，Height 30mm at 100℃

表1 直徑為50mm長度為100mm的軸零件在不同溫度下的徑向變形量（μm）Tab.1 The Radial Deformation of Shaft with a Diameter of 50mm，Length of 100mm at Different Temperature（μm）

表2 內徑為50mm外徑為70mm長度為150mm的孔零件在不同溫度下的徑向變形量（μm）Tab.2 The Radial Deformation Value of the Hole with a Inner Diameter 50mm，and Outer Diameter 70mm，and Length 150mm at Different Temperature（μm）

分析以上表中數據可知，測量值與理論值、仿真值非常接近，驗證了模型的可靠性以及有限元仿真的正確性。但是理論值與實際測量值還是產生了（0．1～1）mm的偏差，經分析，主要存在于三點：首先是測量器具與溫度計的自身誤差，其次由于測量過程中工件溫度降的過快，讀取的值有稍微的滯后性，再者就是讀取誤差。限于篇幅，其他測量數據不再詳述。對典型零件形體的熱變形仿真提供了零件形體的變形分布狀況，模型為設計者考慮熱變形提供了參考。

表3 長為50mm，寬為40mm，高為30mm的板的板類零件在不同溫度下的徑向變形量（μm）Tab.3 The Radial Deformation Value of The Plate with Length 50mm，Witdth 40mm，Height 30mm at Different Temperature（μm）

3.2 熱變形模型應用分析

隨著溫度的增加，零件的變形量增大。尤其是對于孔軸裝配體，由以上實驗數據可以看出，在溫度較低時，孔與軸的變形量基本相同，因此在低溫時孔和軸不會因溫度變化影響其配合性質，但在溫度較高時，孔與軸的變形量差異較大，且軸的變形量較大，因此在設計孔與軸的配合時，應考慮熱變形的影響，將孔和軸的配合精度控制在一定范圍內。

以鋁制活塞與鋼制缸體的裝配體為例，配合公稱尺寸為φ150mm，缸體外徑為 φ180mm，要求工作間隙為（0.1～0.3）mm；缸體工作溫度tH=110℃；活塞工作溫度ts=180℃，線膨脹系數αs=24×10-6/℃，彈性模量 Es=70GPa，泊松比 v=0.26。

采用傳統的熱變形公式，由熱變形引起的間隙變化量為：

采用所給的熱變形公式，熱變形所引起的間隙變化量為：

由式（11）和式（12）分別計算得到uH=0.056mm和us=0.288mm，得到Δ=-0.464mm。

其裝配熱變形分布，如圖7所示。可見熱變形誤差將使得以孔軸配合為典型裝配的工作間隙減小。因此，在設計之初就將溫度變化對零件的影響考慮進去，設計時在配合偏差上疊加一個補償量，來抵消零件因溫度變化而帶來的熱變形量，以此為依據可對配合結構進行最佳熱配合設計。

圖7 活塞與缸體配合的熱變形云圖Fig.7 The Hot Deformation Cloud Figure of the Fit of Piston and Cylinder Block

4 結論

熱應力所產生的變形量在總熱變形量中占有一定的比例，在精度要求高的情況下更不能被忽視。（1）基于彈性力學和熱力學建立了圓柱軸和孔類、板類、球類零件形體受溫度變化時的熱變形誤差模型，該模型考慮了熱應力對熱變形的影響，相對于傳統計算方法更加合理。（2）采用ANASYS有限元分析軟件對典型零件形體的熱變形誤差及其分布進行了仿真，并以實驗驗證了仿真及熱變形模型的正確性。得到了孔和軸隨溫度變化的熱變形規律，為合理進行零件的公差與配合設計提供了理論依據。