關于不定方程x2-7y4=233

劉 杰

（三明醫學科技職業學院，福建三明365000）

0 引言

關于不定方程x2-Dy4=C(其中D，C為給定的整數，且D＞0為非平方數)曾有多人研究。設N(D，C)為方程x2-Dy4=C的正整數解的組數，文獻[1]證明了以下幾個結果：N(5，44)=1，(x，y)=(7，1)；N(5，11)=2，(x，y)=(4，1)和 (56，5)；N(5，-44)=3，(x，y)=(6，2)，(19，3)和 (181，9)。文獻[2]證明了在y≡ 0(mod 8)時，N(2，17)=0，N(2，41)=0，N(8，17)=0，N(2，97)=0 。文獻[3]證明了N(3，97)=1，(x，y)=(10，1)。文獻[4]證明了N(3，397)=1，(x，y)=(20，1)。運用遞歸序列、同余式和平方剩余方法，學者對不同類型不定方程也有不少研究及成果[5-8]。

本文利用遞歸序列，同余式和平方剩余的方法證明了不定方程x2-7y4=233僅有正整數解(x，y)=(45，4)。

1 定理及證明

但當n≥0時，7Un+24Vn＞0，n＜0時，7Un+24Vn＜0，n＞0時 7Un-24Vn＜0，n≤0時，7Un-24Vn＞0因此（1）式的解可歸結為：(ⅰ)Yn=y2=7Un+24V（nn≥0），或(ⅱ)Yn=y2=-7Un+24Vn(n＞0)。

亦即只要證明Yn=7Un+24Vn或Yn=-7Un+24Vn是否是一個完全平方數。

可以驗證以下3組關系式成立：

2 討論

2.1 情形(ⅰ)Yn=7Un+24Vn（n≥0）

由關系式① 對{Yn}取模3得剩余類序列周期為4，當n≡ 1，3(mod 4)時Yn≡2(mod 3)，因為（2∕3）=-1（其中a∕p表示jacobi符號），所以Yn不可能是一個平方數，從而使Yn=y2=7Un+24Vn無整數解。以下排除的數都是據計算(a∕p）=-1得出Yn不可能是一個平方數，從而使y無解。取模8得剩余類序列周期為4，當n≡0(mod 4)時Yn≡7(mod 8)是模8的平方非剩余，使Yn不是一個平方數。剩n≡2(mod 4)等價于n≡2，6(mod 8)，取模127得剩余類序列周期為8，當n≡6(mod 8)時Yn≡118(mod 127)使Yn不是一個平方數。剩下n≡2(mod 8)等價于n≡2，10(mod 16)。取模32257得剩余類序列周期為16，當n≡2,10(mod 16)時，Yn≡2041，30216(mod 32257)使Yn不是一個平方數。至此，對所有的n均使Yn=7Un+24Vn不可能是一個平方數，從而y無整數解。

2.2 情形(ⅱ)Yn=-7Un+24Vn(n＞0)

對{Yn}取模3得剩余類序列周期為4，當n≡ 0，2(mod 4)時Yn≡2(mod 3)，因為（2∕3）=-1(其中a∕p表示jacobi符號)，所以Yn不可能是一個平方數，從而使Yn=y2=-7Un+24Vn無整數解。取模8得剩余類序列周期為4，當n≡ 3(mod 4)時Yn≡7(mod 8)，使Yn不是一個平方數。剩下n≡ 1(mod 4)等價于n≡ 1，5，9，13，17(mod 20)。取模239得剩余類序列周期為 20，當n≡ 5，9，13，17(mod 20)時，Yn≡ 7，111，129，215(mod 239)使Yn不是一個平方數。則剩下n≡1(mod 20)才使Yn可能是一個平方數。

當n≡1(mod 20)n≠1時設n=1+2×5×2t×k,(k≡1(mod 2),t≥1)令

由關系式②、③，

由于按m的取法有U2m≡1(mod 8)，設2s|Vm，則

對{U2m}取mod 45，按m的取法 均有U2m≡37(mod 45)，而即矛盾。故此時Yn不是一個平方數，使y無解。

當n=1時Y1=y2=16，得方程的一組正整數解(x，y)=(45，4)。通過以上的討論知（1）式只有正整數解（x，y）=(45，4)，證畢。

3 結語

不定方程x2-7y4=233的整數解是由(ⅰ)Yn=y2=7Un+24Vn（n≥0）

或(ⅱ)Yn=y2=7Un+24Vn(n＞0)是否是一個完全平方數決定的。

情形(ⅰ)中證明了當n≡0，1，2，3(mod 4)時，使Yn不是一個平方數，至此，對所有的n均使Yn=7Un+24Vn不可能是一個平方數，而使y無整數解。從而不定方程x2-7y4=233無整數解。

情形(ⅱ)中證明了當n≡0，2，3(mod 4)時，使Yn不是一個平方數，至此，對所有符合上述條件的n均使Yn=-7Un+24Vn不可能是一個平方數，而使y無整數解。從而不定方程x2-7y4=233無整數解。

情形(ⅱ)中當n≡1(mod 4)時，使Yn可能一個完全平方數，但又證明了此時只有當n=1時才能使y2=-7Un+24Vn是一個平方數。

當n=1時，Y1=y2=16，得方程的一組正整數解(x，y)=(45，4)，通過以上的完整證明，知不定方程x2-7y4=233只有正整數解（x，y）=(45，4)。