追根溯源，解法自然成
——以一道習(xí)題談解題教學(xué)

◎王永生

(江蘇省南京市六合區(qū)棠城學(xué)校，江蘇　南京　211512)

一、背　景

“明明講清了，學(xué)生為什么不會做？”一堂精彩的數(shù)學(xué)解題課下來，常常聽到很多同仁發(fā)出這樣的感慨，出現(xiàn)這樣的局面，到底問題在哪兒呢？筆者以為：不少教師在進(jìn)行解題教學(xué)時，往往只是站在教師角度一味地將自己的理解灌輸給學(xué)生，而沒能考慮到引導(dǎo)學(xué)生怎么想，師生之間沒有形成有效的溝通路徑，整個教學(xué)過程自然演變成教師單向的“講清”，學(xué)生無奈地接受，效果自然不好.

筆者也在反思，很多數(shù)學(xué)問題的解決并不是一蹴而就的，它需要經(jīng)歷信息的輸入與加工、思維的辯證與調(diào)整以及解法的選擇與改進(jìn).因此，面對一個數(shù)學(xué)問題，先確定問題所涉及的重要知識點(diǎn)，并以此進(jìn)行知識本源的聯(lián)想，順藤摸瓜，提出可能解決問題的方向，再適當(dāng)?shù)卣{(diào)整、修改和優(yōu)化，讓解法自然生成.在教學(xué)八上軸對稱圖形一道習(xí)題時我進(jìn)行了一次嘗試并對此深有體會.

二、教學(xué)片段

例題如圖所示，AB，CD交于點(diǎn)E，AD=AE，CB=CE，F(xiàn)，G，H分別是DE，BE，AC的中點(diǎn).求證：FH=GH.

很多學(xué)生審?fù)觐}后，都被這復(fù)雜的圖形和煩冗的條件弄得不知所措，學(xué)生解題能力提高關(guān)鍵是教會學(xué)生怎么想，于是先向?qū)W生指出：從知識轉(zhuǎn)化角度，數(shù)學(xué)習(xí)題一般都要運(yùn)用所學(xué)過的知識源加以解決，然后筆者開始引導(dǎo)學(xué)生思考：

問題1本題是求線段相等，那么現(xiàn)階段已學(xué)過的求線段相等的有關(guān)知識有哪些？

相比之前絞盡腦汁的思考，面對這一問題，學(xué)生紛紛作答，補(bǔ)充完善.生1：“全等三角形對應(yīng)邊相等”(知識源1)；生2：“等角對等邊”(知識源2)；生3：“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等”(知識源3)；生4：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等”(知識源4)；生5：“線段間的和差關(guān)系及等量代換”(知識源5).

問題2這些知識源就是解決本題的思考方向和突破口，那么本題應(yīng)該選用哪個知識源來求線段FH=GH？

考慮到H為AC中點(diǎn)，AH=CH，學(xué)生首先考慮知識源1，連接CG，構(gòu)造△GHC，試圖證△GHC≌△FHA，但始終找不到其他條件，如果考慮知識源2，連接FG，將線段FH、GH構(gòu)造到△FHG，但想證角等更不容易；而知識源3、4更是建立在特定的幾何圖形中才能應(yīng)用起來，顯然FH、GH又不是這樣特殊的線段，基于知識本源的思考，一下陷入困境，這時我深知斷不可急于給出解法，因?yàn)閷λ悸返奶剿鬟^程毫無疑問應(yīng)是解題教學(xué)的重中之重，不然之前所做的一切就白費(fèi)了，整個教學(xué)也就再次回歸到“怎么做”的模式，這里一定要舍得花時間，于是我開始引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題干條件能得到什么或關(guān)聯(lián)哪些知識點(diǎn)？

問題3抓住條件AD=AE，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，你能想到什么知識？

學(xué)生經(jīng)過這一提示，很快會關(guān)聯(lián)到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得AF⊥DC，圖中也就出現(xiàn)了基本圖形直角三角形，我順勢提出問題.

問題4關(guān)注問題線段和所得結(jié)論之間的關(guān)系，你又能聯(lián)想到什么知識點(diǎn)？

反思本例的教學(xué)，當(dāng)看到學(xué)生陷入思維僵局的時候，我沒有急于給出解答的方法，而是引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，先讓學(xué)生回顧初中階段“求線段相等”的有關(guān)知識源，這樣學(xué)生一下有了思考的方向，盡管相關(guān)的知識源很多，但因?yàn)橛行┲R源適用的范圍有限制，學(xué)生們不難有所取舍，選擇合適的知識源形成一定的思路，后來在探索過程中再次遇到障礙，這時我沒有因?yàn)闀r間的原因，加快講解，而是選擇在一旁適時進(jìn)行思維調(diào)控，慢慢引導(dǎo)學(xué)生對題中條件逐一剖析，關(guān)聯(lián)出有關(guān)基本圖形、基本知識點(diǎn)，最終在這樣不斷的知識關(guān)聯(lián)中解法自然生成，這也正體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)問題一般都是借助已有知識經(jīng)驗(yàn)加以解決”的轉(zhuǎn)化思想.

三、教后反思

由此可見，多數(shù)情況下，要解答一個數(shù)學(xué)問題，探尋正確解法的過程并非一帆風(fēng)順，而是曲折起伏，但是探尋正確解法的思路卻是“有序可循”：那就是從分析題目的已知入手，從一些具體條件展開聯(lián)想，盡量使條件的指向豐富，提取出一些有用信息，然后再對照問題需“要求什么，必須有什么……”進(jìn)行分析，追溯和這一問題有關(guān)的知識源有哪些？再結(jié)合題意選擇一個知識源作為思考的方向，如果確實(shí)不知所措，這時可以以題干條件關(guān)聯(lián)程度近的知識點(diǎn)切入思考，看它是否給我們以啟示，當(dāng)發(fā)現(xiàn)還走不通時，再換與題干知識關(guān)聯(lián)程度相對較遠(yuǎn)的知識點(diǎn)著手探究，直至生成正確解法.

總之，通過這種追根溯源的思維方式進(jìn)行解題，往往能打開解決問題的思維通道，明確解決問題的思考方向，使學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，從而從根本上提升學(xué)生分析問題、解決問題的綜合能力.