淺談運用均值不等式求最值的若干策略

摘要：在平時教學中，筆者發現學生對運用均值不等式求最值碰到困難，有些無法下手，本文羅列出幾種常見題型的變形方法與技巧，來說明如何靈活運用均值不等式，借此以激發學生思維，開闊學生解題視野，提高學生應用數學知識的能力。

關鍵詞：均值不等式;最值;策略

均值不等式，也叫基本不等式，它的內容在人教版高中數學教材必修5第三章《不等式》3.4節中出現，它是證明不等式及各類最值重要的方法和依據，應用廣泛，相關題型經常出現各類模擬試題及高考當中，具有變通靈活性和條件約束性的特點，是高中數學重要的一個知識考點。

具體內容描述如下：①若非負實數a，b，則a+b2≥ab;②若非負實數a、b、c，則a+b+c3≥3abc，那么，在運用它們求最值時，必須滿足“一正、二定、三相等”這三個基本條件，但在具體的問題中，這些條件往往不全滿足，這時，就必須對式子作一定的恒等變形和配湊技巧，使它同時滿足這三個條件，現將恒等變形的常見方法與技巧歸納如下，以期能對大家的學習有所啟發和幫助。

一、 拆項法

【例1】若x>0，求函數y=x2+2x+14x的最小值。

解：∵x>0且x2+2x+14x=x2+16x=x2+8x+8x

∴y=x2+8x+8x≥33x2·8x·8x=12

故當且僅當x2=8x，即x=2時，ymin=12。

二、 添項減項法

【例2】已知a≥b>0，求y=a+4（2a-b）b的最小值。

解：∵a≥b>b2>0，∴a-b2>0，b2>0

∴y=a+4（2a-b）b=a-b2+b2+1a-b2·b2

≥33a-b2·b2·1a-b2b2=3

∴當且僅當a-b2=b2，b2=1a-b2·b2，即a=b=2時，ymin=3。

三、 變換系數法

【例3】若a∈R+，且2a2+b2=2，求y=a·1+b2的最大值。

解：∵y=a1+b2=12·2a2·（1+b2）≤122a2+b2+12=324（當且僅當2a2+b2=2，2a2=1+b2，即a=32，b=±22時，取“=”）

∴y=a·1+b2的最大值為324。

四、 平方法

【例4】已知0<θ<π，求y=sinθcos2θ的最大值。

解：∵y2=sin2θcos4θ=12（2sin2θ·cos2θcos2θ）≤122sin2θ+cos2θ+cos2θ33=427（當且僅當2sin2θ=cos2θ，即θ=arctan22或θ=π-arctan22時，取“=”）

∴0

五、 取絕對值法

【例5】已知x∈R，求y=2xx2+1的最值。

解：∵|y|=2xx2+1=2|x|x2+1=2|x|+1x≤22|x|·1x=1（當且僅當|x|=1x，即x=±1時，取“=”），

∴-1≤y≤1。

∴函數y=2xx2+1的最小值和最大值分別為-1和1。

六、 常值代換法

【例6】已知a、b>0，且2a+b=1，求函數y=1a+1b的最小值。

解：∵2a+b=1

∴y=1a+1b=（2a+b）1a+1b=3+ba+2ab≥3+22（當且僅當ba=2ab，2a+b=1，即a=2-22，b=2-1時，取“=”）

∴函數y=1a+1b的最小值為3+22。

七、 三角換元法

【例7】已知，a、b∈R，且2a+b=4，求1a+1b的最小值。

解：由2a+b=4，可設2a=4sin2θ，b=4cos2θ，則有

1a+1b=12sin2θ+14cos2θ=12（1+cot2θ）+14（1+tan2θ）≥34+214tan2θ·12cot2θ=34+22（當且僅當tan2θ=2cot2θ，即tan2θ=2，b=42-4時，取“=”）

∴1a+1b的最小值為34+22。

八、 同步放縮法

【例8】已知a≥b>0，求y=a+4（2a-b）b的最小值。

解：∵y=a+4（2a-b）b≥a+42a-b+b22=a+4a2=a2+a2+4a2≥33a2·a2·4a2=3（當且僅當a2=4a2，2a-b=b，即a=b=2時，取“=”）

∴y=a+4（2a-b）b的最小值為3。

九、 待定系數法

【例9】已知x>0，求y=x（2x+1）（8-5x）的最大值。

解：若x≥85，則y≤0;若0<x<85，

設y=1mn[mx（2x+1）（8n-5nx）]（其中m、n為待定系數），要使mx+2x+1+8n-5nx為常數，即（m+2-5n）x+8n+1為定值（即與x無關）。

必須有m+2-5n=0①

由mx=2x+1=8n-5nx，得m=2x+1x，n=2x+18-5x，將其代入①中化簡整理，得15x2-11x-4=0

解得x=-4150，85，x=1∈0，85，

當x=1時，m=3，n=1，于是

y=13[3x（2x+1）（8-5x）]≤133x+（2x+1）+（8-5x）33=9

∴當x=1時，ymax=9

當然，在課堂教學中，對于每一道題，教師都要引導學生認真地觀察所求式子的特點，然后結合條件選擇適當的變形方法，并且要注意必須滿足“一正、二定、三相等”這三個基本條件，一題多法，多法合用。這樣，才能達到熟練掌握變形方法的目的，才能激活學生的思維，提高學生的解題能力。

參考文獻：

[1]黃軍華.運用基本不等式解題常見問題探討.2012

[2]宋仁高.運用基本不等式解題常見錯誤分析[J].理科考試研究-數學版，2011.

作者簡介：

楊慶元，浙江省金華市，浙江金華孝順中學。