“針對(duì)性”圖象解決單調(diào)性問題

摘要：本文主要是提供一種解決求單調(diào)區(qū)間問題的方法：導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定原函數(shù)的增減，而要判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，我們可以將導(dǎo)函數(shù)中已確定正負(fù)的部分摒棄掉，遺留下來的部分作為一個(gè)新的函數(shù)，即為本文中的“針對(duì)性函數(shù)”，通過作這個(gè)“針對(duì)性函數(shù)”的圖象來研究原函數(shù)圖象。這種方法可以化繁為簡(jiǎn)，也很形象，易于理解，因此是一種很適合推廣的方法。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)性；單調(diào)區(qū)間；圖象

【例1】求函數(shù)f（x）=ln（1+x）-14x2的單調(diào)區(qū)間。

分析：定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=11+x-x2=-x2-x+22（1+x）。

作二次函數(shù)g（x）=-x2-x+2在（-1，+∞）的大致圖象：只需考慮開口方向、與x軸交點(diǎn)，因此將表達(dá)式化為兩根式即g（x）=-（x+2）（x-1），作出圖象如圖1即可得：遞增區(qū)間為（-1，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）。

圖1

作圖步驟說明：（1）根據(jù)定義域作出直線x=-1（虛線）表示所作圖象只有在其右側(cè)有效。（2）因f′（x）的分母部分不影響正負(fù)，所以不用考慮。（3）找出f′（x）的分子部分 g（x）與x軸的交點(diǎn)（可采取上述方法，也可解方程-x2-x+2=0），得到圖中x軸上橫坐標(biāo)為-2和1的點(diǎn)，結(jié)合開口向下作出拋物線圖象（有效部分畫實(shí)線）。

【例2】求函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+k2x2的單調(diào)區(qū)間。

分析：定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=1x+1-1+kx=kx2+（k-1）xx+1。

作函數(shù)g（x）=kx2+（k-1）x在（-1，+∞）的圖象，關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)及圖象與x軸交點(diǎn)。

因二次項(xiàng)系數(shù)k不確定且g（x）與x軸一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)1-kk與另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)0及-1的大小關(guān)系也不確定，所以分成以下情況：

①k=0時(shí)，g（x）=-x，遞增區(qū)間為（-1，0），遞減區(qū)間為（0，+∞）

例2情況①

②k>0時(shí)，1-kk=1k-1>-1

（ⅰ）1-kk<0時(shí)，遞增區(qū)間為-1，1-kk和（0，+∞），遞減區(qū)間為1-kk，0

（ⅱ）1-kk=0時(shí)，遞增區(qū)間為（-1，+∞）

（ⅲ）1-kk>0時(shí)，遞增區(qū)間為（-1，0）和1-kk，+∞，遞減區(qū)間為0，1-kk

例2情況②（ⅰ）

例2情況②（ⅱ）

例2情況②（ⅲ）

③k<0時(shí)，1-kk=1k-1<-1

例2情況③

遞增區(qū)間為（-1，0），遞減區(qū)間為（0，+∞）。

作者簡(jiǎn)介：

蔡祥波，中學(xué)一級(jí)，福建省晉江市，福建省晉江市養(yǎng)正中學(xué)。