剖析高考試題揭示問題本質(zhì)

摘要：筆者列舉了2016年高考數(shù)學(xué)全國卷II和卷III中有關(guān)排列組合問題、幾何組合計數(shù)問題、數(shù)列新定義計數(shù)問題方面的案例進行了分析和探究，發(fā)現(xiàn)此類題同根同源，其本質(zhì)是一樣的，由此得出數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)。

關(guān)鍵詞：高考真題；案例剖析；揭示本質(zhì)；提高技巧

2016年高考理科全國卷Ⅱ和卷Ⅲ的排列組合問題新穎有趣，表面上卷Ⅱ考查的是實際模型中的幾何組合計數(shù)問題，卷Ⅲ考查的是純數(shù)學(xué)的數(shù)列新定義計數(shù)問題，而如果站在更高的觀點上，可以發(fā)現(xiàn)兩題同根同源，其實本質(zhì)上都是考查的是組合數(shù)學(xué)上的卡特蘭數(shù)的應(yīng)用。以下詳加論述：

高考真題1（2016年全國卷Ⅱ高考）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）

A. 24B. 18C. 12D. 9

解析：小明到老年公寓的最短路徑可以分步完成：第一步，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，共走四步，只需選擇哪兩步向右走，共有C24種走法；第二步，會合后兩人一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，共走三步，只需選擇哪兩步向右走，共有C13種走法。故最短路徑條數(shù)為N=C24·C23=18。

高考真題2（2016年全國卷Ⅲ高考）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)。若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）

A. 18個B. 16個C. 14個D. 12個

解析：依題意，當(dāng)m=4時，數(shù)列{an}共有8項：4項為0，4項為1。且對任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)（即從左到右數(shù)，0的累計數(shù)不小于1的累計數(shù)）。分析易得a1=0，a8=1。再采用樹形圖列舉，可知滿足題意的數(shù)列{an}共有14個。

問題：若高考真題2問的是對于任意的m∈N+，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有多少個呢？

要解決這個一般的問題，就必須理解這個純數(shù)學(xué)問題的實際模型，其實高考真題2也可以理解為高考真題1實際模型的幾何組合計數(shù)問題，具體理解如下：有一個4×4方格，一個質(zhì)點開始在（0，0）（最左下角頂點處），每次走一步，向右走一步記為0，向上走一步記為1，最終要運動到（4，4）（最右上角頂點處）（且要保證該質(zhì)點始終處于對角線y=x之下（含對角線））的最短路徑的條數(shù)。

其實，我們可以將問題推廣到更一般的情況：將m個紅球，n個白球排成一排，要求任意位置及其左邊的紅球總數(shù)不小于白球總數(shù)，共有多少種排法？

可等價轉(zhuǎn)化為：存在一個m+n元數(shù)組（a1，a2，…，am+n），其中ai∈{0，1}，i=1，2，…，m+n。且有m個1，n個0（m≥n）。

記Ai={k|a1，a2，…，ai中有k個1}，Bi={k|a1，a2，…，ai中有k個0}，且Ai≥Bi對i=1，2，…，m+n都成立。問這樣的數(shù)組共有多少個？

答案：這樣的數(shù)組共有Cmm+n-Cm+1m+n個。以下給出嚴格的證明。

證明：設(shè)點Pi（Ai，Bi）（i=0，1，2，…，m+n）。

則P0（0，0），Pm+n=（m，n），PiPi+1=（Ai+1-Ai，Bi+1-Bi）=（1，0）或（0，1）。

則將數(shù)組元素對應(yīng)為m+n+1個點，數(shù)組對應(yīng)為從P0到Pm+n的一條路徑，且滿足

Ai≥Bi對i=1，2，…，m+n都成立，其總的走法數(shù)為Cmm+n種。

若其滿足題意，則其路徑必在直線y=x的下方（含直線y=x）；

若其不滿足題意，則必然有路徑點在直線y=x+1上。

作P0（0，0）關(guān)于直線y=x+1的對稱點為P′0（-1，1），

記A={從P0到Pm+n不滿足題意的路徑}，B={從P′0到Pm+n的總路徑}。

評注：至此，我們給出了這個問題的完整解答。如果我們繼續(xù)向上追問，就會發(fā)現(xiàn)此題的背景其實是組合數(shù)學(xué)中的“卡特蘭數(shù)”（“卡特蘭數(shù)”源于比利時數(shù)學(xué)家卡特蘭在研究凸n+2邊形的剖分時得到的數(shù)列Cn，在組合數(shù)學(xué)、信息學(xué)、計算機編程等方面都有廣泛的應(yīng)用；卡特蘭問題的解決過程大量應(yīng)用了映射方法，堪稱計數(shù)的映射方法的典范。），這就找到了問題的本質(zhì)。從而也更加佩服高考命題人的良苦用心，原來2016年這兩個排列組合題都同根同源，可以看成是一個復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的兩個特例。這樣的命題對活躍學(xué)生思維，提高解題能力給予了很好的導(dǎo)向。

總之，本文通過列舉2016年高考理科全國卷Ⅱ和卷Ⅲ的兩道有關(guān)排列組合問題的高考真題，進行剖析、解答找到了問題的本質(zhì)。原來這兩個排列組合考點的試題本是同根同源，是一個復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的兩個特例。這樣的高考命題將會進一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高解題技巧，所以，我們在平時的教學(xué)中要特別重視這方面的引導(dǎo)。

作者簡介：

陳菊紅，寧夏回族自治區(qū)青銅峽市，青銅峽市第一中學(xué)。