曲線型樹狀柱計算長度和穩定性分析研究

楊建林 周 強 王 錦 沈 煒

(1.江蘇城鄉建設職業學院,常州 213147; 2.謝億民工程科技(常州)有限公司,常州 213000)

0 引 言

樹狀結構是一種具有自然界樹木的形狀且具備一定支承作用的空間結構。最初是由德國建筑師Frei Otto于20世紀60年代提出,具有多級分支、三維伸展的幾何特點,分支覆蓋范圍廣[1]。因此,在不影響使用功能的前提下減少了上部水平構件的跨度,使受力更均勻。樹狀柱根據桿件曲直可分為兩類,一類是直線型樹狀柱,如圖1的斯圖加特機場候機廳,采用了三級分叉的樹狀柱,圖2的深圳文化中心“黃金樹”,結構非對稱不規則,此外還有長沙南站、徐州東站、深圳北站等國內高鐵站候車站臺采用的樹狀柱;另一類是曲線型樹狀柱,如圖3的孟買宴會廳,由主干伸出一級曲線分支,再由一級分支伸出多根直線分支,每一分區的樹枝桿件在同一豎平面內,圖4的芝加哥某公園太陽能遮陽棚,僅有一級曲線分支,分支在豎平面內單向彎曲。

圖1 斯圖加特機場候機廳Fig.1 Departure hall of Stuttgart

圖2 深圳文化中心“黃金樹”Fig.2 Golden Tree of Shenzhen culture center

圖3 孟買宴會廳樹狀結構Fig.3 Dendritic structure of Bombay banquet hall

樹狀柱作為結構的主要支承構件,其穩定性分析和計算長度確定是必要的。構件和結構的穩定問題是一個整體性問題,結構的穩定由構件的穩定性決定,而構件的穩定取決于構件本身幾何形狀、相鄰構件對其的約束以及荷載的分布。合理的穩定性分析方法和計算長度確定方法對于曲線型樹狀柱在工程中的運用具有重要意義。

文獻[1]通過有限元軟件ANSYS,在樹狀柱桿件上施加一對集中力,來進行線彈性屈曲分析,然后根據歐拉公式反算計算長度系數,給出了樹狀柱構件計算長度系數取值建議。文獻[2]以一個六柱支承的圓形屋蓋結構為例,進行了考慮材料和幾何非線性的屈曲分析,研究了該結構的穩定性;然后采用整體模型提取法,找出各樹狀柱桿件失穩時的屈曲荷載系數,求得對應屈曲荷載,并按歐拉公式反算計算長度系數。文獻[3]以一多級分支樹狀柱為例,推導了有側移情況下的樹干計算長度系數的解析表達式,并通過有限元法驗證了其合理性,并表示多級分叉樹狀柱的分支計算長度系數需通過線性特征值屈曲分析來反推。

本文以某樹狀結構工程設計為例,從整體結構彈性屈曲穩定分析出發,結合歐拉公式確定曲線型樹狀柱的計算長度,然后討論了分支矢高比、分支與主干長度比、分支與主干線剛度比對分支計算長度系數影響,最后對樹狀結構進行了非線性分析。

1 工程概況

該工程塔樓形狀趨于五邊形,39層,結構高度179.97 m,底部三層帶有外擴附屬裙房,塔樓東北面有3層附屬裙樓,與塔樓上部結構完全脫開,塔樓幕墻自標高57.7 m開始由主塔樓自由延伸至裙樓上方,形成屋面結構,屋面結構為空腹桁架體系,為了支承該屋面,在屋面覆蓋范圍內設置樹狀柱,如圖6所示,一級分支為曲線,總計20棵樹狀柱,主干截面有P500 mm×20 mm、P550 mm×20 mm、P650 mm×30 mm三種,長度為3 m至17.7 m,一級分支截面有P300 mm×20 mm、P350 mm×20 mm、P350 mm×25 mm、P370 mm×20 mm四種,曲線長度為6m至21m,材料為Q345鋼材,一級分支頂部與屋面鋼結構采用剛接。圖7為該工程典型樹狀柱造型。

2 計算長度系數確定

2.1 單棵柱計算長度系數

樹狀柱分支與主干采用鑄鋼節點,為剛性連接,以Tree-Z02樹狀柱為例,考慮分支上部懸臂、鉸接、剛接三種約束情況,對各個分支施加一對集中力進行線彈性屈曲分析,然后反推計算長度系數,如表1所示,懸臂時計算長度系數接近3.0,鉸接時為1.0左右,剛接時為0.7左右。因此分支上部與主結構采用剛接更有利,除了能減小分支的計算長度,還可以增加樹狀柱的剛度。

圖6 樹狀柱分布Fig.6 Distribution of dendritic column

圖7 典型樹狀柱造型Fig7 Modeling of dendritic column

表1不同頂部約束時分支的計算長度系數

Table 1 Effective length coefficients of deferent constraint dendritic column

2.2 整體分析方法

為了考慮與樹狀柱分支相連的桿件初始內力和約束影響,宜將樹狀柱放入整體模型中分析,來計算其分支計算長度系數。目前的工程實踐中,對于復雜空間桿系結構計算長度系數的確定主要分3個步驟:①對主導荷載作用下的整體結構進行靜力線性分析得到所分析桿件的軸力作為初始態軸力;②對主導荷載作用下的整體結構進行線性屈曲分析,得到所分析構件對應的臨界荷載系數;③用所分析構件對應的臨界荷載系數乘以其初始態軸力,得到屈曲荷載,然后根據歐拉公式反算該構件計算長度系數[2]:

(1)

但是上述方法要在眾多失穩模態中識別出某根桿件對應的失穩模態,工作量是巨大的,需要做些改進。由于,結構的屈曲模態與荷載大小無關,而臨界荷載為臨界荷載系數與初始荷載的乘積,并且本工程案例中,樹狀柱主要受軸向力作用,那么,可以在要分析的桿件上加一對較大的集中力,該構件的屈曲臨界荷載系數就會變小,相應的屈曲模態就會最先得到,可以想到,如果一對集中力足夠大,前幾階屈曲模態中就能找到該構件的屈曲模態。經多次試算,虛擬集中力為主導荷載作用下分支最大軸力的10倍的數量級時,前幾階屈曲模態中就能找出分支對應的屈曲模態。事實上,虛擬集中力大小取該構件兩端簡支約束下的歐拉臨界荷載值是最有效的,計算長度可取約束點間的直線距離,此時其臨界荷載系數為個位數量級,本工程中分支最大軸力為193.3 kN,對應歐拉臨界荷載為1 833 kN,因此本工程虛擬臨界荷載取10倍最大軸力是合適的,當用在其他工程上時,建議虛擬集中荷載大小取對應的歐拉臨界荷載值。

為了驗證本文方法的適用性,取一兩層平面框架,層高3 m,開間6 m,柱底固接,梁柱截面為H300×150×6.5×9,約束樓層水平位移,計算其一層邊柱和中柱的計算長度系數,分別為0.662和0.648,規范值分別為0.706和0.685,計算值與規范值相差5%,說明本文方法的合理性。另外,本文方法是基于彈性穩定理論求得的屈曲臨界荷載,不適用于有側移框架。

2.3 整體分析結果

構件的屈曲模態是局部桿件基于外荷載作用及周邊約束條件下發生的失穩,找出所分析構件的屈曲失穩模態是確定計算長度系數的前提。根據本文提出的分析方法,選取恒載和活載標準組合作為主導荷載,并在分析構件上施加一對集中力,由于“恒載+活載”作用下,分支最大軸力為193.3 kN,因此集中力大小可取103數量級,本文取1 000 kN進行線性屈曲分析。

以Tree-Z02樹狀柱為例,圖8為分支編號,圖9為其前三階屈曲模態。第1階模態為支點有側移的曲線平面外彎扭屈曲,第2階模態為支點無側移的曲線平面外彎扭屈曲,第3階模態為曲線平面內彎曲屈曲。由于屋面空腹桁架對各個支點約束強弱不同,前兩種屈曲模態先后順序也不同。分支主要發生曲線平面外的彎扭屈曲。

圖8 Tree-Z02分支編號Fig.8 Branching numbering of Tree-Z02

Tree-Z02樹狀柱的6根一級分支的屈曲臨界荷載、幾何長度和計算長度系數見表2,同時也采用整體模型提取法[3]計算了Tree-Z02各分支的計算長度系數,并列于表2中,兩種方法所得分支臨界荷載相差5%左右,而計算長度系數相差只有0.02%左右,說明本文方法是可行的。Tree-Z02分支計算長度系數為0.7左右,非常接近單棵樹狀柱獨立分析時剛接情況。

圖9 Tree-Z02分支屈曲模態Fig.9 Buckling modes of Branching Tree-Z02

表2Tree-Z02分叉計算長度系數

Table 2 Effective length coefficients of Tree-Z02

為了了解虛擬集中力大小對計算結果的影響,本文又取了100 kN集中力和1 000 kN集中力結果對比,以Tree-Z02樹狀柱為例,結果見表3,可以看出兩種大小的虛擬集中力計算的臨界荷載十分接近,誤差在0.5%以內,由此計算的計算長度系數基本相同。但是,1 000 kN集中力作用下的分支屈曲模態均出現在第1階,而100 kN集中力作用下的分支屈曲模態出現在第6～16階,其中在前100階屈曲模態內沒有找到6號分支的屈曲模態。可見,“足夠大的虛擬集中力”有助于快速甄別分支屈曲模態,而不影響分支臨界荷載大小。

用本文方法計算了20棵樹狀柱的146根一級分支計算長度系數見圖10,由圖可以看出,樹狀柱一級分支的計算長度系數為0.6～0.8,與等截面無鉸拱的計算長度系數很接近[4]。圖11為分支計算長度系數和相同截面的一級分支初彎曲幅值v與分支端點距離L比值的關系圖,由圖可以看出,計算長度系數隨v/L比值總體呈增大趨勢,由于樹狀柱結構幾何造型所限,v/L比值在0.05～0.25之間。圖12為分支計算長度系數與分支弧長比關系,圖13為分支計算長度系數與分支主干線剛度之比關系,規律不明顯。設計時分支計算長度系數可統一取0.8。

表3兩種集中力對應的計算長度系數

Table 3 Effective length coefficients of two concentrated forces

圖10 樹狀柱一級分支計算長度系數Fig.10 Effective length coefficients of first branching structure members

圖11 分支計算長度系數與v/L關系Fig.11 Relationship of effective length coefficients and v/L

圖12 分支計算長度系數與分支弧長比關系Fig.12 Relationship of effective length coefficients and ratio arc length

圖13 分支計算長度系數與分支主干線剛度比關系Fig.13 Relationship of effective length coefficients and main ratio stiffness

3 非線性屈曲分析

取相應分支第1階屈曲模態作為結構的初始幾何缺陷,缺陷最大值為最長分支的1/300,同時考慮材料非線性,進行結構非線性分析。以Tree-Z02樹狀柱為例,其非線性分析結果如圖14所示,結構失穩形式與線性屈曲分析的屈曲模態不同,是由于分支在曲線平面內彎曲失穩導致,分支沿著彎曲方向變形不斷增大,該分支初始軸力100 kN,臨界荷載對應的分支軸力為1 100 kN,因此荷載系數為11,大于規范[6]規定的2.0,滿足穩定性要求。

4 結 論

通過對一樹狀結構工程實例中曲線形樹狀柱計算長度及穩定性研究,得出以下主要結論:

圖14 考慮雙重非線性的穩定分析結果Fig.14 Stability analysis with geometric and material nonlinearity

(1) 在整體模型提取法基礎上,在分析構件上施加一對“足夠大的集中荷載”,可以快速獲得該構件屈曲模態,從而計算構件計算長度系數,與整體模型提取法計算結果誤差在0.02%左右,本文方法合理可行。

(2) 分支頂部約束方式對分支計算長度系數影響較大,分支頂部宜采用剛性連接;隨著矢高比v/L增大,分支計算長度系數有增大趨勢;分支與主干長度比和分支與主干線剛度比對分支計算長度系數無明顯影響。

(3) 對于本文所分析的曲線型樹狀柱,當分支頂部采用剛接連接時,分支計算長度系數在0.6～0.8之間,設計時可統一取0.8。

(4) 曲線型樹狀柱結構的的安全系數達到11,大于規范[6]規定的2.0,滿足穩定性要求。