嵌入GARCH波動率估計的B1ack-Litterman投資組合模型

凌愛凡，陳驍陽

(江西財經大學金融學院，江西 南昌　330013)

1　引言

考慮Markowitz[1]均值-方差投資組合模型：

其中：w=(w1…,wn)T為投資組合的權重向量，Σ為n個風險資產方差-協方差矩陣，I為元素全為1的向量，μ為n個風險資產的期望收益率向量，E為給定的投資組合期望收益，均值-方差問題 (MV) 是一個典型的凸二次優化問題，其解析解可表示為：

w=g+hE

(1)

其中，

μTΣ-1I=A,μTΣ-1μ=B,ITΣ-1I=C,BC-A2=D

在實際應用中，最優解(1)最關鍵的問題是參數μ和σ的估計對最優解的影響。豐富的實證研究發現，MV模型對輸入參數非常敏感，期望收益率的微小變化可能導致最終配置結果較大的波動，且當一些小市值權重的資產具有高的預期回報且和組合中其他資產負相關的話，MV模型會賦予它很高的權重，這與分散化的本質是背離的。

為了克服上述均值-方差模型出現的不足，研究者從許多方面進行了新的探索。第一個方面的探索，主要是在投資組合模型中引入新的風險度量工具，如Value at Risk (簡稱VaR) 風險度量[2]和條件VaR (簡稱CVaR) 風險度量[3]。

第二方面的探索，仍在MV框架下，圍繞如何提高風險資產期望收益的估計精度，以提高MV模型的性能。Chopra 等[4]提出使用 James-Stein 估計子來估計收益的均值。Michaud等[5]和Harvey, Liechty和Liechty[6]提出的重采樣 (resampling)等方法來克服參數估計誤差。

不同上述兩個方面的探索，Black和Litterman[7]基于貝葉斯方法，將投資人的觀點與市場均衡下的預期收益結合起來，對模型參數進行估計，下文中，我們簡稱為BL 模型。具體講，Black和Litterman[7]使用如下公式來估計風險收益向量r的期望：

μBL=E[r]=[(τΣ)-1+PTΩ-1P]-1[(τΣ)-1Π+PTΩ-1Q]

(2)

其中,k表示投資者觀點數量(k≤n),P是一個k×n矩陣，表示投資者觀點矩陣，當只有一個觀點時，則為n維行向量，k維列向量Q表示觀點收益向量，τ是一個標量(Scalar)，表示投資者的風險厭惡程度，n維列向量П表示隱含均衡收益向量，k維對角陣Ω表示觀點誤差的協方差矩陣，反應了每個觀點的信心水平，其對角線上某個數值越大，表示該元素所對應的觀點缺乏信心。

BL模型被提出來后，在理論與實踐方面受到廣泛關注。如，Satchell和Scowcroft[8]詳細描述國際投資組合中BL 模型的使用細節，Herold[9]研究了對預期收益具有可控預測質量的BL 投資組合模型，Chiarawongse等[10]推廣了Herold的結果到具有可控預測質量輸入的BL 投資組合模型。在穩定分布下， Giacometti[11]考慮BL 模型的計算與應用問題。在引入了投資者觀點的不確定性情形下，Idzorek[12]介紹了BL 模型實踐應用與詳細計算方法。

近年來，BL模型獲得了一些新的發展，如Bertismas, Gupta, Paschalidis[13]利用逆規劃方法，研究BL 模型的應用問題。在橢圓分布假設下，Xiao Yugu和Valdez[14]再次研究BL模型的理論與應用特征。Bessler, Opfer和Wolff[15]考慮了基于樣本數據計算的BL 模型性質，并比較了其與等權重模型的性能特征，發現隨著數據規模的增加，BL模型能夠超越等權重模型的。Walters[16]的研究發現，對于觀點收益向量Q，目前很多人采取搜集投資經理人的對于資產未來收益的觀點作為觀點收益向量，這種方法實施起來將面臨信息收集的成本過大和收集的信息存在可靠性問題。而對于觀點誤差矩陣Ω，目前量化的方法大致有兩類。第一，假設觀點的方差與資產收益的方差Σ成一定比例。第二，通過定義一種觀點信心區間來確定觀點誤差。對于第一類方法最簡單，但是比例系數的確定成為難點，第二類方法中信心水平的確定就更加難以量化。

BL模型一直以來也受到國內學者的關注，特別在應用方面，獲得許多可喜的成果。如，孟勇[17]研究了BL 模型在保險資產配置中的應用，黃瓊、朱書尚和姚京[18]考慮我國市場的有效性問題，蔣崇輝、馬永開和安云碧[19]利用BL 模型中的主觀觀點思想，研究了國際市場投資組合問題，孟勇[20]研究了BL 模型在外幣資產儲備與配置中的應用，最近，尹力博和韓立巖[21]考慮BL 模型在國際大宗商品配置中應用。

雖然文獻中對BL模型的應用進行了廣泛的考慮，但BL 模型提出的將市場均衡收益和主觀觀點結合給模型的應用造成了困難，因為BL 模型沒有具體給出如何對主觀觀點進行有效量化，而主觀觀點的量化是BL模型估計收益向量的一個重要環節。另外，BL模型關于市場先驗分布和投資者觀點都服從正態分布的假設不符合市場的“尖峰厚尾”特征。

由于BL模型中，關于觀點處理，直接影響到的參數是風險資產收益的波動率(方差)，那么如果我們能夠找到一個相對好的估計波動率的模型，是否可以改善BL 模型中關于主觀觀點的問題呢？本文的研究正是基于這一動機提出的。

本文利用GARCH模型給出的波動率估計，作為BL模型中波動率的輸入參數。通過GARCH 模型估計的波動率作為觀點，我們稱之為嵌入GARCH 波動率估計的BL模型。該種方法僅涉及交易的歷史數據，可以克服投資者觀點不可觀察和需要大量市場調研的局限。

GARCH模型廣泛應用于波動率估計和與波動率相關的問題中。在投資組合模型中，人們常常用GARCH 模型來估計資產收益的波動率，如Hlouskova, Schmidheiny和Wagner[22]利用多變量的 ARMA-GARCH 模型對風險資產的收益進行預測，然后應用于均值-方差模型中。預測VaR是近年來GARCH 模型的重要應用[23-24]。然而，這些模型均是利用GARCH 模型估計波動率，然后直接應用于決策模型中。本文的研究與這些直接用GARCH 估計波動率的模型不同，我們既結合歷史數據，利用GARCH 模型來估計波動率，同時又考慮了具有BL 模型特征的貝葉斯估計思想。因此，在本文中，我們稱為嵌入了GARCH 波動率估計的BL 模型，在后面的實證中，我們簡寫為BL-GARCH 模型。本文研究具有如下兩方面的貢獻：

(1)在BL投資組合模型中，提出了嵌入GARCH 波動率估計方法，利用GARCH 模型的優勢處理投資者觀點度量的困難問題，對于推動BL 模型在實踐中的應用顯然是重要的。

(2)通過數值試驗和比較，我們進一步發現，將GARCH 方法嵌入到BL模型中估計波動率，能有效地提高投資組合樣本外平均收益率，降低樣本外波動率和提高夏普比等度量投資組合性能的指標。

2　GARCH模型與觀點矩陣Q的估計

雖然BL模型的一個重要特點是加入了投資者的主觀觀點，但是否能充分收集投資者觀點給模型應用帶來了困難。在現實中，無論多么有經驗的投資者，均不可能獲得市場的完全信息，他們做預測時總是會受到過度自信、保守等情緒影響。那么如何避開這些受投資者個人行為影響，但又仍然保留BL 模型特色呢？在本節中，我們將引入GARCH 模型來形成投資者的觀點向量Q，建立對Ω和P的估計，然后依據BL 模型尋求最優投資決策。

在建立GARCH 模型與BL 模型的聯系前，我們先簡要的回顧一下GARCH 模型的特點。本部分中關于GARCH 模型的符號和形式，來自于Engle[25]和Bollerslve[26]。設yt為一個隨機過程，可表示如下形式：

(3)

設殘差的波動率σt遵循GARCH(p,q) 過程，那么可表示如下：

(4)

這里，εt-i(i=1,…,q) 為風險資產收益的殘差項，σt-i(i=1,…,p)為波動率的自回歸項，p,q分別表示滯后階數。設rt表示風險資產在t時刻的平均凈收益率，令

yt=ln(1+rt)

和

利用樣本協方差作為矩陣Σ的估計，將上述得到的參數估計值代入(2)，我們可以計算μBL，代回(1)，我們能得到相應的BL 模型的最優投資策略。

3　數據與方法

在這一節中，我們考慮了四個真實數據的例子，檢驗嵌入GARCH波動率估計的BL 模型的性能。第一個例子是來自國內10個行業指數構成的投資組合，第二、三和四個例子的數據均來自French主頁的Data Library 數據。我們分別比較了均值-方差模型和Idzorek[12]修正的BL 模型的性能。

3.1　數據

為了驗證本文提出的嵌入GARCH 波動率估計的BL 投資組合模型性能，四個真實數據的例子分別來自兩個市場：第一個市場的數據選取了我國上證380指數中的10個行業指數作為10個風險資產構成的投資組合，這10個行業指數分別為：380能源(380E1)、380材料(380M)、380工業(380I1)、380可選(380O)、380消費(380C)、380醫藥(380H)、380金融(380F)、380信息(380I2)、380電信(380E2)、380公用(380U)，數據跨度從2005年01月04日到2016年12月31日的日收益率，其中以2005年01月04日到2012年12月31日的數據為樣本內數據，2013年01月02日到2016年12月31日的數據為樣本外檢測數據。所有第一類數據來源于Wind 數據庫(http://www.wind.com.cn/)。

第二個市場的數據為美國市場的指數數據，數據來源于French主頁的Data Library(詳見網站：http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html)中的3個工業投資組合，他們分別是含10、17和25個工業指數的工業投資組合。每個投資組合中指數(被認為是風險資產)樣本數據的期限是1986年1月2日到2016年12月31日的日收益率數據，其中以1986年1月2日至到2010年12月31日的數據為樣本內數據，2011年1月2日至2016年12月31日的數據作為樣本外檢測數據。

3.2　基于GARCH模型的觀點參數估計

為了簡單，我們考慮GARCH(1,1)模型，那么(3)和(4) 可以簡化為：

(5)

(6)

考慮所有風險資產的如下自回歸方程：

(7)

作為一個例子，我們考慮上證380中能源指數(380E1) 回歸結果和相應的收益率與波動率預測過程，其他風險資產按照類似的方法進行估計。首先，表1給出了能源指數(380E1) 關于(5) 的回歸結果。表1表明，380E1在自回歸上具有非常好的顯著性。進一步通過估計GARCH(1,1)的方差方程(6)，我們得到表2的結果。

表1　380E1 OLS回歸結果

由表2可知，利用GARCH(1,1)擬合的380E1在1%的水平下顯著，因此用GARCH(1,1)估計波動率是足夠的。

表2　380能源指數 GARCH(1,1) 方差方程估計參數

由表1和表2的回歸結果，我們能夠得到能源指數(380E1)的期望收益估計方程和方差預期方程：

yt=0.0051+0.9981yt-1

(8)

(9)

基于表3中關于風險資產下一期收益預測和方差估計，我們就能估計BL 模型中相關參數。利用前一節中關于觀點向量Q，對角陣Ω和矩陣P的估計方法，我們得到，380指數中10個風險資產的觀點收益率向量Q即為表3中第2列向量構成，觀點誤差矩陣Ω 為對角陣，其對角元由表3中第3列數值開根號構成。由于我們僅考慮絕對觀點，且由表3中第2列全為正可知，投資者觀點矩陣P也為對角陣，且對角元素應全為1。在基于國內數據的數據檢驗中，我們將各個風險資產在市場組合中的權重結合到對角矩陣P中，即用風險資產在市場組合中的權重組合構成矩陣P的對角元，如表4所示，利用表4中第2和第4列作為矩陣P的對角元。

表3　上證380指數10個行業指數的GARCH模型估計結果

Black和Litterman[7]給出了市場組合收益期望向量П 估計公式：

Π=λΣwm

(10)

其中λ為投資者均值-方差均衡模型中的風險厭惡系數，一種廣泛接受的估計λ的方法來自于Best和Grauer[27]給出的如下方法：

(11)

其中σm為市場組合的波動率，rf為無風險收益率，μm為基于市場組合歷史數據估計的市場期望收益，該λ給出了市場組合的夏普比。由于表4給出的市場組合權重是基于樣本內的每日權重的平均值，我們以樣本內的數據計算此市場組合的樣本平均收益率μm和市場組合的標準差σm, 那么根據(11), 我們估計出系數λ為2.5，結合由歷史數據估計的n個風險資產之間的協方差矩陣Σ，我們由(10) 可以得到參數Π的估計如下：

Π%=[0.022,0.022,0.020,0.019,0.019, 0.017, 0.021,0.020,0.0223, 0.020]T

通過上述步驟，我們可以獲得所有BL 模型中的參數估計，從而計算μBL。在下一小節中，我們將給出基于此方法得到的最優投資策略的性能比較。

表4　上證380指數10個行業指數的市場組合權重(即對角陣P 的對角元)(樣本內數據截止時間為2012年12月31日)

4　數值結果與比較

在本小節中，我們將給出嵌入GARCH 波動率估計BL模型數值結果，在數值結果描述中，記為BL-GARCH模型，并給出了BL-GARCH模型與如下三個模型的性能比較：

(1)傳統的均值-方差模型，記為 MV；

(2)由Idzorek[12]提出的修正BL 模型，記為I-BL 模型。

(3)等權重模型(1/n)。

在I-BL模型中，與本文模型的最重要區別是對參數Ω和P的估計不同。Idzorek[12]假設矩陣Ω由如下方法計算：

其中，LCi為第i個觀點的信心水平，CF(Calibration Factor)為預先設定的校正因子，Idzorek取CF=0.5，LCi的取值較為主觀，根據決策者的行為，預先設定，詳見作者原文。

我們首先給出了四個模型關于上證380各指數構成的投資組合性能比較，表5給出了各個模型在樣本外期間(2013年1月2日—2016年12月31日)所獲得的投資組合超額日收益率均值，最大值、最小值和夏普比的比較結果，其中夏普比按如下公式計算：

這里μ是年化平均收益率，σ是年化的標準差，rf是年化的無風險收益率，取值為rf=2.5%。夏普比是一個用于度量投資組合性能好壞的典型指標。

表5　基于國內數據的投資組合樣本外性能比較

因為參數τ是預先設定的，反應了決策者主觀信息的程度，τ越大，表明決策者的主觀信心越好，在數值實驗中，我們設定了τ的3個值，0.1, 0.5 和0.75。對于I-BL模型，為了了解LC 對模型的影響，我們也選取了3個取值，LC=0.1, 0.7 和 0.9。 表5給出這些情況的詳細比較。

由表5的結果可知，在嵌入了GARCH 估計波動率后，BL-GARCH模型在獲得超額收益率方面相對較弱，但是BL-GARCH模型能獲得最小的年化波動率，而且，這個結果在決策者的不同主觀信心是一致的。另一個非常重要的結果是在BL-GARCH 模型能夠獲得最好的夏普比，這表明本文嵌入GARCH 估計波動率到BL模型中，具有重要的實踐意義，能很好地提高模型的性能。

作為第二個市場數據的例子，我們考慮了美國市場投資組合情形。我們從French 主頁的Data Library 中選取了n=10,17,25 三種資產數的工業指數作為風險資產的投資組合，表6給出上面提到的三個模型在這些組合中的性能測試情況。在這里，對于I-BL 模型，我們僅考慮了其性能較好的τ=0.75，LC=0.9的情形。

表6中的結果進一步表明，針對成熟的國際市場數據，相對于傳統的MV 和I-BL 模型，我們發現，經嵌入了GARCH 模型后，BL模型的性能獲得了較大的提升。一方面，BL-GARCH 模型能夠獲得相對不錯的樣本外平均收益率，如對當n=10，τ=0.75時，BL-GARCH 模型能獲得年化22.4%收益率，弱高于均值-方差模型的21.9% 和I-BL 模型的22.0%，但是最小波動率在由τ=0.1情形的BL-GARCH 模型獲得，僅為14%，最佳夏普比為1.1569，由τ=0.75情形的BL-GARCH 模型獲得。對于n=17 和25的情形，從表6中，我們能夠發現類似的結果。所有這些數值結果與國內數據是類似的。

表6　基于國際數據的投資組合樣本外性能比較

為了表明我們的模型結果與MV、I-BL 和等權重模型相比，不僅僅是平均值占優這些模型，我們也考慮夏普比的統計檢驗。我們使用Jobson和Korkie[28]和Memmel[29]提出的夏普比統計檢驗方法，分別對四個模型和四組樣本數值進行了檢驗，結果見表7。由表7的統計檢驗可知，本文提出的BL-GARCH 模型在5% 的置信水平上，均好于MV和等權重模型的性能，在10%的置信水平上，夏普比要好于I-BL 模型的性能。

表7　夏普比性能的顯著性檢驗

作為進一步的直觀描述，在圖1中，分別在n=10, 25 情形下，我們給出三個模型的累積收益比較。為了便于比較，取τ=0.75，相對于傳統的MV 和I-BL 模型，BL-GARCH模型在三種不同投資組合情形下，均能獲得較高的累積收益率，表明該模型具有穩定性能，與表6和表7中的結果是一致的。

圖1　MV 模型、I-BL 模型和BL-GARCH 模型的樣本外累積收益(財富)比較

4　結語

為了提高BL模型策略性能，并進一步推廣了BL模型的應用，本文提出了一種BL模型的執行方法。在避免投資者觀點難于獲得的情形下，我們引入了GARCH模型，一方面，利用GARCH 模型預測波動率，以形成BL 模型中的觀點矩陣Ω，另一方面，利用GARCH模型預測收益率，以形成觀點向量Q。通過國內外豐富的數值實驗發現，在嵌入GARCH波動率估計后，所有得到的模型在投資收益、波動率和夏普比等性能上，均能夠得到很好的提高。特別，在與傳統的均值-方差模型和Idzorek修正的BL 模型比較時發現，嵌入了GARCH 波動率估計BL模型能獲得最小的年化波動率，從而使得該模型能夠獲得最大的年化夏普比。本文的研究能夠進一步推廣到含風險控制的投資組合模型中，如在最小化VaR投資組合模型、最小化CVaR模型和項目管理等中的應用，如在許啟發, 周瑩瑩和蔣翠俠[30]提出的具有范數約束的CVaR投資模型中，如何結合本文提出的參數估計方法來提高模型的性能是值得進一步研究的。本文的研究也可以用于保險基金的投資決策模型中(王增文[31])。