重復性項目調度模型的時差分析

張立輝，鄒　鑫，黃元生，乞建勛

(1.華北電力大學經濟與管理學院，北京　102206；2.華北電力大學經濟管理系，河北 保定　071003)

1　引言

時差(Float)是CPM (Critical Path Method)網絡中的一個時間尺度概念，它表示在不推遲總工期條件下工序的工期或開始時間可變化的量。常見的時差類型包括總時差、自由時差和安全時差。時差分析旨在區分關鍵和非關鍵工序，其中關鍵工序必須嚴格按照計劃方案執行，而非關鍵工序的開始時間和工期能夠在時差允許的范圍內調整，否則將影響項目的總工期。利用時差的這一性質，眾多學者展開了對CPM網絡特性的研究。例如，Elmaghraby結合時差和工序路線分析了工序的關鍵性和敏感性[1]。李星梅等依據大型網絡的構建過程提出簡化組合模型，將多層次復雜網絡轉化為多個單層次簡單網絡，并據此提出了分層網絡時差的計算公式[2]。乞建勛等提出了反映總時差與路長關系的總時差定理，并在此基礎上設計了構造等效子網絡的快速方法[3]。時差分析的另一個重要應用是在工程延誤發生時，為業主和承包商的索賠提供計算依據[4]。此外，在某些求解資源均衡問題的啟發式算法中，時差也作為確定非關鍵工序調整順序的標準[5]。總的來說，CPM中的時差分析研究已相當成熟，其在項目計劃與調度的多個領域均有成功的應用。

重復性項目(Repetitive Projects)是一類特殊的項目，它的施工場所可劃分為若干獨立的單元，并且所有工序需要在多個單元上重復執行，例如高層建筑、高速公路和管道工程等[6]。盡管CPM被認為是最有效的項目調度工具之一[7]，但在重復性項目中卻存在諸多不足[8-9]，如不能保證工序在單元間的連續性，不能表示多種類型的優先關系等。這也導致基于CPM的時差分析方法無法直接應用于重復性項目。基于此，部分學者提出了新的重復性項目調度方法，如Repetitive Scheduling Method(RSM)[10-11]，Line of Balance(LOB)[12]和Linear Scheduling Models(LSM)[13-14]等。這些方法均采用“時間-距離”的二維圖表示項目的進展，故本文將它們統稱為RSM，并以縱坐標表示時間，橫坐標表示工程階段。為了減少間斷時間并最大化學習效應，在利用RSM做計劃時通常要求保持工作連續性，即工序在單元間不存在間斷。

在RSM中，一個工序可能只有部分單元位于關鍵路線上，此時時差分析就需要確定每個工序非關鍵部分的時差大小。Harmelink[15]提出了效率時差(Rate Float, RF)的概念，用于衡量在不影響總工期條件下，工序非關鍵部分的工作效率能夠改變的量。但是，該研究假設任意工序非關鍵部分的工期必須相同。對于某一工序在所有單元上的子工序均為非關鍵的情形，Ammar[16]提出的時間時差(Time Float, TF)表示在不推遲總工期條件下，該工序在所有單元上的開始時間可以被整體推遲的最大量。以上研究屬于圖示分析法，計算效率不高。基于Lucko[17]提出的通過奇異函數描述工序的方法，Lucko和Orozco[18]提出了時差計算的數值化模型。但是該模型涉及到的公式較為復雜，方法步驟繁瑣，不利于實踐中的應用推廣。此外，RF和TF要求工序在所有單元間必須連續施工。當這一條件不被滿足時，RF和TF就無法正確估計。工序間斷是重復性項目實施中的常見情形，指在一個工序的某單元完成后出現停工的現象。在實際工程中，工序間斷常發生于極端天氣、資源供應不足和工人罷工等事件。因此，為了合理有效地控制進度，我們有必要在考慮工序間斷的情況下對現有的時差分析方法做進一步推廣。

綜上所述，本文將研究新的RSM時差分析方法；該方法旨在確定不影響總工期條件下，一個子工序的開始時間或工期可變化的最大量。將CPM網絡中的時差概念引入到RSM中，本文將進一步提出適用于重復性項目的新的時差概念體系，以及對應時差的數值計算方法。

2　基本假設與時差分類

圖1是一個簡單RSM示例，其中粗線表示關鍵路線，陰影表示約束。關鍵路線由關鍵子工序和關鍵約束構成。關鍵約束連接兩個不同工序的關鍵部分，所形成的連接點稱為關鍵點。本文根據非關鍵子工序與關鍵點的相對位置將非關鍵子工序分為兩類，包括位于關鍵點之后的A型子工序，以及位于關鍵點之前的B型子工序，A型子工序ai,j在RSM中的計劃開始和計劃結束時間就為其最早開始和結束時間，即Si,j=ESi,j且Fi,j=EFi,j，并且它的最早和最遲時間參數滿足:

LSi,j-ESi,j≤LFi,j-EFi,j

(1)

對于B型子工序ai,j而言, 它在RSM中的計劃開始和計劃結束時間則分別等于LSi,j和LFi,j，同時滿足:

LSi,j-ESi,j≥LFi,j-EFi,j

(2)

圖1　重復性項目的RSM表示

CPM中常見的時差類型包括總時差、自由時差和安全時差。這種時差分類方式已被計劃人員和學者廣泛接受。按照使用方式的不同，每一種時差又可細分為兩類，包括通過延長工期使用時差的延長時差，以及通過推遲(提前)開始時間消耗時差的移動時差。不同類型的時差有著相應的應用領域，如時間費用權衡問題需要計算每個工序最優的工期，從而在給定截止日期條件下最小化總費用。該問題可看作是確定每個工序延長時差的最優使用量。又如在資源均衡問題中，需要在工序工期和項目總工期不變條件下確定所有工序最優的開始時間，即計算其移動時差的最優使用量。在CPM中，任意非關鍵工序的延長時差必定等于其移動時差。所以CPM沒有進一步區分時差的使用方式而僅簡單地強調總時差、自由時差和安全時差。但是在RSM中，由于涉及多種類型的時間約束以及距離約束，非關鍵子工序的延長時差和移動時差就有可能不一致。因此，就需要根據使用方式對時差進行單獨計算。

將時差使用方式與經典時差概念相結合，本文定義了如下六個新的RSM時差概念：(1)移動總時差(MTF)：不影響總工期前提下，子工序的開始時間可以被推遲或者提前的量；(2)延長總時差(PTF)：不影響總工期前提下，子工序的工期可以被延長的量；(3)自由移動時差(FMF)：不推遲緊后子工序開始和結束時間條件下，當前子工序的開始時間可以被推遲或提前的量；(4)自由延長時差(FPF)：不推遲緊后子工序開始和結束時間條件下，當前子工序的工期可以被延長的量；(5)安全移動時差(SMF)：不影響緊前子工序最晚開始和最晚結束時間以及總工期條件下，當前子工序的開始時間可以被推遲或提前的量；(6)安全延長時差(SPF)：不影響緊前子工序最晚開始和最晚結束時間以及總工期條件下，當前子工序的工期可以被延長的量。

3　總時差

3.1　時間參數計算

(3)

(4)

(5)

(6)

3.2　時差計算

3.2.1A型子工序

如圖2(a)，A型子工序ai,j使用MTF的方式是推遲開始時間，并且其開始時間可以被推遲的最大量等于min {LSi,j-ESi,j,LFi,j-EFi,j}。由式(1)可知LFi,j-LSi,j≥EFi,j-ESi,j對A型子工序恒成立，所以ai,j的MTF為:

(7)

(8)

綜上所述，A型子工序ai,j通過組合MTF和PTF的方式可使用的總時差為：

(9)

圖2　A型工序的MTF和PTF

圖3　A型工序的TF

3.2.2B型子工序

如圖4(a)，B型子工序ai,j使用MTF的方式是提前開始時間。由式(2)可知，EFi,j-ESi,j≥LFi,j-LSi,j對B型子工序恒成立，所以ai,j的開始時間可被提前的最大量就等于LFi,j-EFi,j。換句話說，B型子工序ai,j的MTF為：

(10)

(11)

B型子工序ai,j通過組合MTF和PTF的方式可使用的總時差為：

(12)

圖4　B型工序的MTF和PTF

圖5　B型工序的TF

3.2.3通用計算公式

聯合3.2.1和3.2.2節，對于任意類型的非控制子工序，ai,j它的MTF、PTF、TF，以及MTF和PTF的共用部分(SPi,j)的通用計算公式依次為：

MTFi,j=min{LSi,j-ESi,j,LFi,j-EFi,j}

TFi,j=max{LSi,j-ESi,j,LFi,j-EFi,j}

SPi,j=min{MTFi,j+PTFi,j-TFi,j,0}

4　自由時差

4.1　時間參數計算

(13)

(14)

4.2　時差計算

(15)

(16)

(17)

性質1.對于任意的A型子工序ai,j，若j≠J，則ai,j的FMF、FPF和FF均為零。

5　安全時差

5.1　時間參數計算

(18)

(19)

5.2　時差計算

(20)

(21)

(22)

性質2.對任意的B型子工序ai,j，若j≠1，則ai,j的SMF、SPF和SF均為零。

6　案例分析

考慮一個5km長的天然氣管道工程項目，其中每個單元的長度為1km。每個子工序的計劃工期和工序間約束關系類型見表2。該項目的RSM表示見圖6(a)，其中粗線表示關鍵路線，其長度(即總工期)等于62天。對于非關鍵子工序，它們所屬的類型、工期的上界以及最早和最遲時間參數計算結果見表3。

表1　不同類型自由時差與安全時差的通用計算公式

表2　項目工程信息

表3　非關鍵子工序的類型、最長工期和最早與最遲時間參數

圖6　初始調度方案以及子工序不同類型時差的使用

表4　不同算法下非關鍵工序的時差計算結果

非關鍵子工序使用FF和SF的圖形表示見圖46(c)和(d)，其中箭頭分別指出了非關鍵子工序在完全使用FF和SF后所處的位置。與性質1和2描述的內容一致，A型子工序除a1,5、a2,5和a3,5外，其余的子工序的FMF、FPF和FF均為零，如圖6(c)所示；而B型子工序除a5,1外，其余子工序的SMF、SPF和SF也都為零，如圖6(d) 所示。作為比較，已有文獻提出的效率時差和時間時差并不具備計算FF和SF的能力。綜上所述，本文提出的RSM時差概念是區別于效率時差和時間時差的一類新的時差概念體系。并且本文提出的時差計算方法允許工序間斷且初始工期不一致，這擴大了時差可計算的范圍，具有更強的普適性。

7　結語

本文在工序可間斷條件下，根據非控制子工序使用時差的兩種方式定義了新的RSM時差概念體系，包括移動總時差(MTF)、延長總時差(PTF)、自由移動時差(FMF)、自由延長時差(FPF)、安全移動時差(SMF)和安全延長時差(SPF)。在此基礎上，本文提出了時間參數和時差計算的公式，為項目管理者能夠更好地進行進度管理提供了可能。時差分析除了擁有揭示工序關鍵性的能力外，還能輔助許多項目調度問題解決方案的設計，例如時間費用權衡問題和資源均衡問題等。在未來的研究中，我們將利用移動總時差和延長總時差的概念建立RSM中的資源均衡模型，同時將時差應用于工程索賠分析。