智能手機陀螺儀傳感器測量轉動慣量研究

黃建成石峰宇趙 昶趙 曼

(1北京石油化工學院信息工程學院;2北京石油化工學院機械工程學院;3北京石油化工學院數理系;北京 102617)

轉動慣量是一個物體做旋轉運動時慣性大小的量度。一個剛體對于某轉軸的轉動慣量決定了該物體繞著此轉軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩。如果剛體的形狀簡單，且質量分布均勻，可以通過數學方法直接計算出它繞定軸的轉動慣量。對于形狀復雜、剛體質量分布不均勻的剛體，數學計算極為復雜，因此如何用實驗方法簡單有效地測量剛體的轉動慣量具有重要的實際意義。目前常用的測定轉動慣量的方法有恒力矩法、三線擺法、扭擺法等，每種方法各有優缺點，但無論何種方法，基本都需要直接或間接測量角速度或擺動時間。采用光電門計時器及配套單片機測量上述兩個量相對常用并且精度較高，缺點是儀器綜合成本高，體積大，容易損壞，而且一般都是用于測量固定尺寸和規則形狀的剛體，因為這些剛體可以放置在裝有光電門的轉盤上。而對于不規則形狀或尺寸較大的剛體，由于它們不能放到轉盤上，則需要重新調整配套裝置及光電門位置，所以不具有廣泛適用性，一般只能用于實驗驗證。而測定物體的轉動慣量作為一種應用級實驗操作，應具有更大的普及性及可操作性。隨著智能手機的不斷普及及完善，其自帶傳感器性能也日益提高，完全可以幫助我們方便地完成物體轉動慣量的測定。

本文利用智能手機中的陀螺儀傳感器對剛體繞定軸轉動的角速度實時精確測量和記錄，并輔以軟件進行分析和處理，最終精確地獲得剛體的轉動慣量。

1　基本原理

智能手機之所以具有豐富的應用功能，如加密支付、自動調光、導航、測距、指紋解鎖等，正是利用其集成的各種傳感器，如加速度傳感器、光線傳感器、陀螺儀傳感器，磁場傳感器等[1，2]，其中，陀螺儀傳感器可以感知手機轉動的實時角速度。

微機電陀螺儀簡稱 MEMS gyroscope，一個基本的MEMS設備由專用集成電路和微機械硅傳感器組成。微機電陀螺儀依賴于由相互正交的振動和轉動引起的交變科里奧利力。振動物體被柔軟的彈性結構懸掛在基底之上。整體動力學系統是二維彈性阻尼系統，在這個系統中振動和轉動誘導的科里奧利力把正比于角速度的能量轉移到傳感模式[3]。

在MEMS gyr oscope中有兩個方向的可移動電容板，徑向的一對電容板加震蕩電壓迫使傳感器內部的微小物體作徑向運動，此即為驅動震蕩方向，而橫向的一對電容板就可以測量由于橫向科里奧利運動引起的電容變化。(如圖1所示)由于科里奧利力正比于角速度

所以由電容的變化就可以計算出手機轉動的角速度[4]。

圖1　MEMS原理圖

上述將角速度轉化為電信號的過程由手機的MEMSgyroscope來完成，借助一款手機軟件AndroSensor即可以將手機轉動的實時角速度記錄并保存。然后，我們可以將數據導入電腦，利用Matlab方便地進行數據處理。

實驗裝置如圖2所示，在測量過程中，對轉動系統施加一恒力矩，進行兩次對照實驗。

圖2　實驗裝置示意圖

第一次先將手機和載物盤空轉，測得這個空載時的轉動慣量，然后將待測物體與手機和載物盤一起旋轉，測得整體的轉動慣量，兩次差值即為待測物體的轉動慣量。

在上述兩次旋轉中，每一次旋轉可以拆分為兩部分，即在施加恒力矩重物帶動下的加速轉動和重物落地后載物盤受摩擦阻力作用的減速運動。記空載加速時測得的角加速度為β1，空載減速時角加速度為β2，負載加速時的角加速度為β3，負載減速時角加速度為β4。根據剛體的定軸轉動定律[5]，有

其中力矩M是恒定的，由質量為m的砝碼和摩擦阻力共同提供，砝碼的質量m已知，掛在半徑為R的同心輪軸上以施加恒力矩，由于轉動產生的摩擦阻力可以由兩次實驗抵消。所以只需得到角加速度β即可求出物體的轉動慣量。

設砝碼的加速度為a，細線上的拉力為T，可以得到

摩擦力矩

將方程(1)、(2)、(3)代入式(4)

就可以得到空載的轉動慣量

同理，負載時總的轉動慣量

則，待測物體的轉動慣量為

2　系統構成與數據采集

本文利用智能手機中的陀螺儀傳感器對剛體的轉動慣量進行測量。

首先，對自行車碟剎片的轉動慣量進行測定。將手機放置在轉盤中央(本文方法完全可以不使用轉盤，把手機和待測物固定在一起開啟陀螺儀傳感器即可直接測量系統轉動角速度，但為了與傳統的光電門方法對比實驗精度，我們在數據測量中，其他實驗條件盡量保持與光電門方法一致，而這種方法是在轉盤上固定擋片，通過擋片經過光電門的時間差間接獲得角速度，這也是此方法的一個缺點，因為轉盤及光電門系統是固定的，就限制了待測物的尺寸及形狀，使得這種方法無法推廣到任意物體的轉動慣量測量中，而本文的方法則克服了此缺點，只需把手機和待測物固定在一起即可)，由于轉速不是特別大，轉動的過程不會使手機與轉盤產生相對滑動。放置穩定后，將砝碼用輕質細線繞在同心輪軸上，打開手機中的記錄軟件AndroSensor，并釋放使砝碼自由下落至地面，此過程為勻加速轉動;砝碼落地后使轉盤繼續轉動一段時間，此過程為勻減速轉動。至此第一次數據采集完成，得到轉盤空載時β1和β2的原始計算數據。

同理，放上待測物碟剎片，重復上述操作，即得到加負載時后β3和β4的相關實驗數據。

手機上可以實時顯示運動的角速度(圖3)，并能夠保存和記錄，以便后續分析。

圖3　手機實時顯示角速度

表1為兩次數據采集的部分數據清單，它由手機軟件Andr oSensor記錄并以逗號分隔符的形式保存，每一個數據單元為瞬時的轉動角速度。可以看出，每一次轉動的角速度均為先增大后減小，再結合角速度與時間變化關系可得到轉動的角加速度β。

表1　部分數據清單

續表

智能手機記錄原始數據可以精確到小數點后6位，(小數末位為零時會自動滅零，所以顯示出的小數有時不足6位)角速度每隔0.1s被記錄一次，時間間隔還可以調至0.05s甚至更小，但對于我們的測試，由于系統轉動較慢，0.1s的間隔已經可以獲得相當精確的數據、每次采集可以得到100余條數據。

由于現代智能手機中的陀螺儀傳感器采用的是高精度的微機電系統，其穩定性及精確度較傳統設備優勢明顯，圖4為手機靜止不動時的數據輸出，可以看出此時的零點漂移的最大值不超過0.002rad/s，并在微小的范圍內上下擾動。

圖4　手機靜止不動時的數據輸出

在下文的數據處理中需要得到的是角速度的變化率即角加速度，所以傳感器的零點漂移在進行下一步處理時亦能抵消。由此可見當今智能手機傳感器的精確和本實驗方法的準確性與可行性。

3　數據處理與分析

在上述的數據采集工作完成后，我們可以得到兩組數據，一組為空載時的瞬時角速度，另一組為加負載時的瞬時角速度。由于傳感器的零點漂移小于0.002rad/s，所以我們先將原始數據保留3位小數，再將其導入Matlab，可以繪制出兩條曲線。如圖5中的兩條曲線，分別描繪了兩次轉動的角速度變化曲線[6]。

圖5　空載和加負載時的角速度與時間的關系

圖示的兩條曲線，除去前后的冗余部分即由兩部分組成，前部的冗余部分來源于打開手機軟件與釋放重物的時間差，后部的冗余部分來源于外力強制試驗臺停止轉動至關閉手機軟件的時間差，此部分數據無意義。每一條曲線都是前部分上升、后部分緩慢下降，上升部分為在重物和摩擦阻力共同作用下的勻加速轉動，緩慢下降部分為重物落地后轉盤受摩擦阻力作勻減速轉動。

每一段均勻變化的曲線斜率代表了試驗臺的勻加速和勻減速過程的角加速度數值，對采集的數據可以利用最小二乘法進行擬合。最小二乘法是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小，并可以方便地進行曲線擬合。

在 Matlab中，利用命令p=polyfit(x，y，n)即最小二乘法分別對每一條曲線的前部和后部求斜率，命令中x與y分別代表橫、縱坐標，n代表擬合后方程自變量的最高次冪，可應用

(k1=vpa(k1，10)[7]表示此次運算結果保留到小數點后10位，以盡可能提高后續計算精度)

分別求出k1，k2，k3，k4并代入公式(5)、(6)、(7)得到

求出待測物體的轉動慣量。

通過上述方法可以得到實驗中自行車碟剎片的轉動慣量為

得到的結果可以保留3位有效數字，精度可以滿足一般的計算需求。

4　誤差分析

上文中對一個非規則物體的轉動慣量進行測量，但其理論值難以計算。

為了驗證智能手機測定剛體轉動慣量的精度，我們對一標準的圓環進行測試。一個外徑R1=120 mm，R2=105 mm，質量m=431.4g的圓環的轉動慣量

利用上文中的方法，即智能手機測得的圓環轉動慣量的數據如表2所示。

表2　智能手機測得的轉動慣量

根據表2中3次測量的平均值可以得出智能手機測得的圓環的轉動慣量

J1=J′2-J′1=0.00547(kg·m2)

由于多次測量時第三位有效數字是變化的，即存疑的，所以最終結果及計算相對誤差時有效數字應保留3位。

在實驗的同時可以開啟光電門計數器進行對照。通過光電門計數器測得的圓環的轉動慣量如表3所示。

表3　傳統光電門測得的轉動慣量

根據表3中3次數據的平均值可以得出光電門測得的轉動慣量

智能手機測得的圓環轉動慣量與理論值的相對誤差

傳統的光電門方法測得的圓環的轉動慣量與理論值的相對誤差

由此可以看出，智能手機測得的誤差小于1%，遠小于傳統光電門方法的誤差[8]，可以認為用智能手機傳感器測得的轉動慣量與真實值近似相等，體現出本實驗方法的準確性與可行性。

5　結論

利用智能手機傳感器測定剛性物體的轉動慣量可以幫助我們方便地進行測量操作，不需要像光電門計數器和單片機那樣專業的設備，而且目前智能手機中的傳感器精度已經很高，完全可以滿足我們測量普通剛性物體轉動慣量的需求。我們測量了自行車碟剎片的轉動慣量，實際上對于任何不規則形狀剛體，只要將它與手機固定在一起，對某個轉軸施加恒力矩，結合智能手機軟件AndroSensor和Matlab采集和處理數據，即可方便地得到其繞該軸的轉動慣量。本方法具有廣泛適用性且精度更高，給利用智能手機中各種靈敏的傳感器參與傳統物理實驗提供了一個新思路。

致謝：本研究受到北京市自然科學基金資助(No.1132010)，國家級大學生創新創業訓練計劃項目資助(北京石油化工學院No.2017J00054，2016J00061)，北京市大學生科研訓練項目(2017J00055，2017J00056，2017J00053，2017J00094)，北京石油化工學院教改項目“適合工程實踐特色的物理實驗內容的探索與實踐”(YB20140802)資助。