函數綜合應用

李樹逵

函數把客觀世界的數量關系和空間形式反映得淋漓盡致，我們通過函數的表示，圖像表達，解析式建構，可以清晰地認識到函數既是抽象的，又是具體的。我們在解決問題時，主動利用函數思想方，參變量一元化，表達式的一元化都為我們的研究帶來方便。

在研究數學問題時，化歸和轉化時刻伴隨我們，一元化的想法時刻影響著我們解決問題的思路。

例1、已知函數f（x）=x3-x

（1）求曲線y=f（x）在點M（t， f （ t ））處的切線方程

（2）設a>0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a

解析：

（1）f‘ （x）=3x2-1，曲線y=f（x）在點m（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f （t）（x-t）。

即y=（3t2-1）x-2t3

（2）如果有一條切線過點（a，b），則存在t，使得b=（3t2-1）a-2t3

若過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0有三個相異的實數根。

記g（t）=2t3-3at2+a+b則g‘ （t）=6t2-6at=6t（t-a）

當t變化時，g （t），g（t）變化情況如下表：

t （-∞，0） 0 （0，a） a （a，+∞）

g‘ （t） + 0 — 0 +

g（t） 增函數 極大值a+b 減函數 極小值 增函數

由g（t）的單調性可知，當極大值a+b<0或極小值b-f （a）>0時。方程g（t）=0最多有一個實數；當a+b=0時，方程g（t）=0具有兩相異實根t=0或t=；當t-f （a）=0時，方程g（t）=0具有相異二實根

綜上，如果過（a，b）可作曲線y=f （x）的三條切線，g（t）=0有三個相異實數根。則

函數問題非常重要，常常體現在主動把一些問題轉化為函數問題，在解決這些問題的過程中，導數是非常重要的工具。切線問題，單調性問題，極值（最值）問題，利用導數能非常方便的解決，函數主要應用于不等式和方程中，等與不等是我們一直關注的問題，基本值是用整體討論個體，用全局討論局部，用共性討論個性的應用，是演繹推理的典范。

數學的應用在于審時度勢，胸有全局。東一榔頭，西一斧頭的解決方程可能得益于一時，但終究不是通法。

例2、已知函數

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）證明：若

解析：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）

①若a-1<1而1

f ' （x）>0。故f（x）在（a-1，1）上為減函數，在（0，a-1）和（1，+∞）上為增函數.

②當a-1=1即，僅當x=1時f ' （x）=0故f（x）在（0，+∞）上為增函數

③當a-1>1而a>2時，同理可得f （x）在（1，a-1）上為減函數，在（0，1）和（a-1，+∞）上為增函數

（2）考慮函數

，由于10而g（x）在（0，+∞）上單調增從而當00，即有f（x1 ）-f （x2 ）+x1-x2>0，故

當

在導數學習過程中，我們體會到了規則步驟的必要性，更重要的是導數的思想和價值；任何事物的變化率都可以用導數來描述，用導數方法研究函數性質與初等方程比較，更一般有效。