探究微積分在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李培

微積分在數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中有著極其重要的地位，在當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著基礎(chǔ)性作用，使函數(shù)和變量之間的關(guān)系被重新定義。微積分在高中數(shù)學(xué)中屬于關(guān)鍵性的內(nèi)容，其可以幫助我們強化對數(shù)學(xué)的思考方式，不僅在很大程度上解開了數(shù)學(xué)中的諸多難題，同時為大學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。本文在此針對微積分在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行了研究。

近年來，在我國教育不斷地進行深化改革的過程中，教育機構(gòu)也漸漸開始關(guān)注高中和大學(xué)間教育對接的問題。高中數(shù)學(xué)和大學(xué)高等數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容都存在著必然的聯(lián)系，可以說大學(xué)高等數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的延續(xù)內(nèi)容。在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，反三角函數(shù)、微積分以及數(shù)列極限等相關(guān)教學(xué)內(nèi)容慢慢地滲入進來，盡管使高中數(shù)學(xué)的困難程度有所增加，但在有效提升數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面也起到了很大的作用。

微積分在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于幾何中

導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容應(yīng)用于幾何解題之中，能夠使幾何題目的求解過程簡單化，加快解題的速度。比如在切線方程當(dāng)中，倘若提供了曲線外的一點，而求解該點的切線方程，可利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識內(nèi)容對此加以快速計算。

因在高考的內(nèi)容當(dāng)中關(guān)于微積分的題目越來越多，教師在授課的過程當(dāng)中對特殊曲線的切線求值也顯得越發(fā)關(guān)注，例如數(shù)學(xué)當(dāng)中的三角曲線、對數(shù)曲線和指數(shù)函數(shù)等。而對于此類較為復(fù)雜的曲線實施切線的計算，倘若還是用之前的計算方法，那么其工作量之大可想而知，并且很可能得到錯誤的結(jié)果，所以一定要使用微積分的相關(guān)知識內(nèi)容對切線加以計算，在應(yīng)用微積分的過程中，只要把切線的斜率計算出來，就會使相關(guān)問題得以解決。

微分中值定理應(yīng)用于方程根的判斷中

一般情況下，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中對方程根的判斷基本上就是使用判別式來對其加以分析，而在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，判別式的求解過程要更加煩瑣一些，所以極易使計算出的結(jié)果失去準(zhǔn)確性。而在使用微分中值定理的情況下，就可以使求解的過程在一定程度上得到簡化，從而使最終的結(jié)果也更加具有準(zhǔn)確性。

現(xiàn)階段，高考主要考查的內(nèi)容已經(jīng)涉及學(xué)生對知識的靈活運用和綜合使用的層面上，而在數(shù)學(xué)相關(guān)知識的考查過程中，普遍存在的題型之一便是使用微積分對不等式及函數(shù)值加以求解。而在三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的不等式計算中應(yīng)用微積分，可以得到更具準(zhǔn)確性的答案，并且大大降低了錯誤結(jié)果出現(xiàn)的概率。如下所示：

使用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖像和判斷函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間

使用一階導(dǎo)數(shù)不僅可求出函數(shù)圖像的上升區(qū)間與下降區(qū)間，還可以確定極值點的具體位置；利用二階導(dǎo)數(shù)不僅可求出函數(shù)圖像的凹凸區(qū)間與拐點，還能夠以此參數(shù)作為依據(jù)了解函數(shù)存在的單調(diào)性，以此描繪出準(zhǔn)確的函數(shù)圖像。

在高中的授課過程中，對三角函數(shù)等相關(guān)函數(shù)所存在的單調(diào)性進行證明時，基本上都是非常重要的內(nèi)容，單調(diào)性一般是指在規(guī)定的范圍[m，n]當(dāng)中，看自變量在變化的時候，因變量能夠如何改變。但是，在未使用微積分的知識內(nèi)容對單調(diào)性加以證明的時候，一般都應(yīng)以單調(diào)性的具體定義作為依據(jù)才可以實施單調(diào)性方面的判斷，因變量發(fā)生的改變是伴隨著自變量的改變而改變的，不斷增大的函數(shù)就叫作增函數(shù)，而不斷減小的函數(shù)則叫作減函數(shù)。然而，單調(diào)性的具體定義只是對一些較為簡單的函數(shù)加以證明，對較為復(fù)雜的函數(shù)就要使用微積分進行證明。倘若相對應(yīng)的函數(shù)在求解后，促使在對應(yīng)的區(qū)間之內(nèi)得出的數(shù)值大于零，那么就證明該函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)屬于單調(diào)遞增，而倘若計算出的導(dǎo)數(shù)值未能大于0，那么就證明該函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)是單調(diào)遞減的。

高中數(shù)學(xué)微積分內(nèi)容的學(xué)習(xí)意義

對數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題能夠盡快了解

掌握微積分的知識內(nèi)容不僅對解決數(shù)學(xué)中的問題具有很大的幫助作用，而且對平時生活當(dāng)中出現(xiàn)的某些問題也可以加以準(zhǔn)確計算，比如可以通過使用微積分的知識內(nèi)容對速度、加速度、邊際成本、利潤、比表面積以及極值等數(shù)值進行求解，使我們在解決相關(guān)問題的時候充分體現(xiàn)出微積分的使用意義，以此提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的動力。

對于提高思維方面的能力具有很大作用

掌握微積分的知識內(nèi)容對于提高我們在思維方面的能力起到了很大的作用，可以使我們有效利用辯證思維的方法解決數(shù)學(xué)當(dāng)中的相關(guān)問題，以此代替機械思考的方式。

在學(xué)習(xí)微積分相關(guān)知識內(nèi)容的時候可以進一步提升對變量與常量方面的認(rèn)知程度，以此強化數(shù)學(xué)解題的思維能力，更好地找出在生活當(dāng)中存在的數(shù)學(xué)問題，強化高中數(shù)學(xué)授課當(dāng)中的思維能力極其重要，能夠在很大程度上提高學(xué)生在數(shù)學(xué)知識方面的運用能力。

對于更好地學(xué)習(xí)大學(xué)高等數(shù)學(xué)具有基礎(chǔ)性意義

有很多的高中畢業(yè)生在進入大學(xué)校園的時候，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)方面的能力較低。其根本上就是因為高中時期的數(shù)學(xué)內(nèi)容要比大學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容更容易消化理解，而高等數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容具有很高的抽象性，假如在高中階段未接觸這方面的知識點，那么就會使學(xué)生無法有效掌握高等數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容。另外，有很多學(xué)生還覺得微積分在本專業(yè)中沒有存在的意義，由此使其無法具有較高的學(xué)習(xí)主動性。因此，在高中教學(xué)的內(nèi)容中加入微積分，對學(xué)生在大學(xué)階段的學(xué)習(xí)具有極高的幫助作用。

加強微積分在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用能力的相應(yīng)辦法

通過平時的生活提高學(xué)生對微積分知識內(nèi)容的認(rèn)知能力

在學(xué)習(xí)微積分知識內(nèi)容的時候，學(xué)生往往對變化率的理解不夠充分，其根本原因就是學(xué)生對于微積分的基本含義未能有效理解。在授課的過程當(dāng)中，授課教師可利用高臺跳水和氣球膨脹等平時生活當(dāng)中存在的事情作為參考內(nèi)容，為學(xué)生剖析變化率的基本含義，以此提高學(xué)生對變化率的理解程度，同時使學(xué)生能夠積極思考，使學(xué)生對相關(guān)知識理解得更加透徹，之后提出相關(guān)的題目讓其加以思考，利用布置相關(guān)習(xí)題的方式使微積分知識得到有效運用，借助實際的案例總結(jié)相關(guān)的公式，一步步地使學(xué)生主動學(xué)習(xí)微積分的知識。

讓學(xué)生充分地了解和掌握微積分知識內(nèi)容的意義

在學(xué)習(xí)微積分知識的過程當(dāng)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的態(tài)度和學(xué)習(xí)的效率有著必然的聯(lián)系。所以，教師的首要任務(wù)就是讓學(xué)生充分了解和掌握微積分知識內(nèi)容所具有的重要意義，熟知微積分對解答數(shù)學(xué)問題方面所起到的顯著作用，意識到微積分和相關(guān)問題的必然性聯(lián)系，以此提升其在微積分的學(xué)習(xí)方面應(yīng)有的積極主動性。

除此之外，應(yīng)使數(shù)學(xué)授課的過程具有一定的生動性與活躍性，使學(xué)生對抽象的知識內(nèi)容能夠加以積極的思考，避免使用硬性記憶的教育方式。在微積分的授課過程中，不但要做好理論知識的講解，更應(yīng)該在講解的時候有效利用相關(guān)的材料以及多媒體式的圖像文字，使學(xué)生更加全面地理解知識內(nèi)容，并加以思索，體會到掌握微積分知識內(nèi)容的重要意義，讓學(xué)生能夠更好地做到學(xué)以致用，充分體現(xiàn)出微積分的實用價值。

控制好微積分授課內(nèi)容的具體范圍和難易程度

高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的微積分知識點屬于全部微積分知識內(nèi)容中的基礎(chǔ)部分，為學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)提供了學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。所以，對高中階段的微積分內(nèi)容一定要加以重視。高中的數(shù)學(xué)內(nèi)容涵蓋了基本的數(shù)學(xué)知識，而讓學(xué)生直接領(lǐng)會微積分的具體含義是存在一定難度的，所以，授課教師必須要控制好微積分授課內(nèi)容的具體范圍和難易程度。

微積分的具體含義較為抽象化，所以在授課的過程當(dāng)中應(yīng)利用情景布設(shè)的方式，讓學(xué)生更加容易地掌握微積分，把微積分和實際的問題有效地結(jié)合在一起。利用相關(guān)的物理場景開展微積分具體含義的講解工作，借助微積分知識內(nèi)容對物理數(shù)據(jù)加以處理，實現(xiàn)充分結(jié)合。在微積分的授課過程當(dāng)中必須要控制好內(nèi)容的具體范圍與難易程度，絕對不可因無限制的講解而使內(nèi)容過于深奧，導(dǎo)致學(xué)生無法理解，一定要以學(xué)生實際的理解能力作為基礎(chǔ)來開展微積分知識點的講解。

有效運用多媒體教學(xué)方式

多媒體的出現(xiàn)使教學(xué)的內(nèi)容更加方便易懂。微積分本身所具有的含義非常抽象，只是憑借教師單一的講解方式是無法讓學(xué)生充分理解的，為使此問題得以有效解決，可通過使用多媒體設(shè)備播放視頻圖片的方法實施授課，可以讓授課的過程具有較高的生動性與具體性，還可以提升授課教師與學(xué)生間的互動能力，使學(xué)生更加積極主動地進行學(xué)習(xí)。教師在教學(xué)的活動中占據(jù)著關(guān)鍵性地位，想要學(xué)生對相關(guān)課程的學(xué)習(xí)更加具有主動性和積極性，就一定要有效拉近師生之間的距離，教師應(yīng)逐步提高自身的專業(yè)知識水平，不斷調(diào)整教學(xué)的相關(guān)方法，提升自身的教學(xué)思維，以使教學(xué)活動的開展更加順利。

結(jié)語

總而言之，在高中數(shù)學(xué)的解題當(dāng)中應(yīng)用微積分，不僅能夠使處于高中階段的學(xué)生具有較高的思維能力與探索能力，還可以使學(xué)生在邁進大學(xué)校園之前讓其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面具備一定的基礎(chǔ)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加透徹。本文在此對微積分在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開了研究，討論了高中數(shù)學(xué)當(dāng)中引入微積分知識內(nèi)容的重要意義，并總結(jié)出改善微積分在高中數(shù)學(xué)解題方面使用效率的相關(guān)辦法，希望對學(xué)生學(xué)習(xí)微積分知識起到幫助作用。