色散實驗數據處理方法對比研究

許建國，蔡建春，吉 鑫

（昆明學院物理科學與技術系，昆明 650214）

數據測量和數據處理是光學設計性實驗過程中非常重要的兩個內容，二者缺一不可，不可偏廢。數據測量是基礎，沒有數據測量，數據處理就成了無源之水、無本之木；只有數據測量，不做數據處理，實驗本身就失去了意義。選擇正確的數據處理方法，提高處理實驗數據的效率和獲得實驗數據的期望值，是所有數據處理者共同的使命及愿望。本文用超定方程組最小二乘解〔1〕方法和Origin 8.0軟件處理光色散的實驗數據，以測量的鈉光折射率作為定標，檢驗兩種方法處理數據的可行性，并對兩種方法進行對比研究。

1 柯西色散規律

色散是物質的折射率隨入射光波長的變化而不同的現象〔2〕。折射率和波長之間的關系稱為色散關系。在正常色散區，柯西（A.L.Gauchy，1836）根據實驗得到了一個經驗公式〔3〕：

其中a、b、c為常數，與材料的性質有關，由實驗測定。

實驗原理和數據處理：根據最小偏向角法測量三棱鏡折射率的方法，用下式計算三棱鏡的折射率〔4〕：

其中α為三棱鏡的頂角，δmin為最小偏向角。實驗中，以低壓汞燈為光源，用一臺分光計、一塊三棱鏡，分別測量汞燈譜線中幾條已知波長對應的折射率。汞燈譜線不同波長對應的最小偏向角及折射率見表1。用自準直法測得三棱鏡頂角α=59°53′。

2 柯西經驗公式系數的確定

2.1 解超定方程求系數 將汞光燈波長及其對應的折射率代入式（1）得下面方程組：

表1 各波長對應的最小偏向角和折射率

從式（3）可知，這是6個方程求3個未知數，是一超定方程組。利用矩陣乘法分解方程組（3）得下面表達式：

對于方程組（3），R是一個6×3的矩陣，rank(R)=3，R是一個列滿秩矩陣，且6＞3，方程組（3）沒有精確解。對實驗數據處理和曲線擬合時，在無法完全滿足給定的條件下，對方程組（3）求一個最接近的解，使其解的殘差最小。因為rank(R)=3＜6，滿足超定方程組最小二乘解的存在和唯一性定理3〔5〕的條件，超定方程組（3）存在唯一最小二乘解，其解為X=(RTR)-1(RTB)。所以計算RTRX=RTB的最小二乘解，得X矩陣的各個系數值分別為a1=1.627 605、b1=7.405 903×103和c1=3.649 776×108。于是本實驗中，柯西經驗公式用常數表示為：

將鈉光波長λNa=589.3 nm代入式（5），算出鈉光對該三棱鏡的折射率nNa=1.651 957，與表1鈉光的實測折射率n*Na=1.651 905，在誤差允許范圍內二者的數值吻合得很好。

2.2 非線性最小二乘法擬合求系數 利用Origin軟件對測量數據進行非線性最小二乘法擬合，經整理后得如圖1所示的結果。

在誤差允許范圍內，圖1中a2=1.627 6，b2=7.408 18×103，c2=3.647 45×108，與超定方程組的解a1、b1和c1吻合得很好。從色散關系曲線圖像可以看出，隨著波長增加折射率減小，波長減小折射率增大，這種色散稱為正常色散。

2.3 色散關系曲線的應用 應用色散關系曲線可以做的工作概括起來有3個方面，第一，如果測出色光對物質的折射率，由式（5）可計算該色光的波長，從而計算普朗克常數〔6〕的數值；第二，由該物質的色散關系曲線，可以推知制作該物質的材料〔7〕；第三，由色散關系曲線可以估計未知波長的折射率，見圖2。

圖1 非線性最小二乘法擬合測量數據

圖2 Data Reader讀取數據

利用Origin界面的Data Reader在色散關系曲線上讀取數據點，可得不同波長（或折射率）的折射率（或波長）。按住計算機鍵盤上的“→”或“←”鍵，屏幕上“＋”光標沿曲線移動，圖2表中X和Y的數值即為該點的波長和對應的折射率。圖例“●”為鈉光的波長和其折射率數值，折射率擬合數值為1.651 957，與實驗測量值吻合得很好。

綜上，由數據處理結果可知，用超定方程組最小二乘解方法和Origin軟件處理色散實驗的數據是可行的。方法一主要圍繞如何求解方程個數多于未知數個數的問題，按照求解未知數方程的一般方法得不到方程組的精確解，而最小二乘法解可以得到符合要求的解，用矩陣乘除法即可完成，方法簡單易學，不過作圖與插值計算未知波長的折射率比較麻煩。方法二用Origin軟件的非線性最小二乘法擬合數據并作圖，計算與作圖完全由計算機完成，過程簡潔高效，對未知波長的折射率的估值一目了然，但實驗數據的處理原理和過程不是很直觀明了，對于初學者理解和掌握起來有一定的難度。Origin軟件處理實驗數據必須假以時日、反復練習方能做到應用自如。我們認為，將兩種處理數據的方法教給學生，讓學生既知其然又知其所以然，不僅使學生學會了處理數據的不同方法，而且也符合因材施教、因人施教的教育教學原則。

〔1〕楊立本.超定方程組最小二乘解行處理方法〔J〕.云南師范大學學報（自然科學版），1997，17（1）：1-4.

〔2〕鐘錫華.現代光學基礎〔M〕.北京：北京大學出版社，2003：440-441.

〔3〕趙凱華.新概念物理教程：光學〔M〕.北京：高等教育出版社，2004：334-345.

〔4〕楊述武，趙立竹，沈國土.普通物理實驗3：光學部分〔M〕.北京：高等教育出版社，2007：33-35.

〔5〕百度百科.超定方程組〔EB∕OL〕.〔2017-06-20〕.https：∕∕baike.baidu.com∕item∕%E8%B6%85%E5%AE%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84∕4663111?fr=aladdin.

〔6〕劉絨俠.利用色散法探索玻爾氫原子理論測量普朗克常數〔J〕.大學物理實驗，2008，21（3）：4-7.

〔7〕朱簡約，陳乾.基于分光計實驗的光譜分析及柯西色散公式研究〔J〕.大學物理實驗，2016，29（2）：41-43.