讓思維過程更清晰
——“簡單的推理”的教學“不簡單”

□ 南欲曉

推理是數學的基本思想方法，推理能力的發展貫穿于整個數學學習過程中。人教版教材在二年級專門設置“推理”單元進行教學。把推理的數學思想通過學生日常生活中簡單的事例及游戲的方式呈現出來，逐步形成有順序地、全面地思考問題的意識。

在上本節課之前，筆者對二年級學生進行調查。將例題直接拿給全班學生去做，發現所有學生都能自主完成，且結果正確。從表面上看，新課的知識學生都已經會了，那這節課還有上的必要嗎？

進一步對學生進行訪談發現：第一，小麗拿的不是數學書，為什么小麗拿的就是音樂書呢？對這個問題的回答學生是想當然的，也就是說學生不清楚為什么是非A即B。第二，學生得出的結論是正確的，但大部分學生是通過嘗試得到的，表述得不是很清晰，也就是學生推理的思維是混亂不清的。

基于這樣的問題，對教學進行了以下的思考。

一、什么是簡單的推理

推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。

從推理的類別看（如下圖），簡單推理指的是“直接推理”。所謂直接推理是指由一個直言判斷作為前提推出另一個直言判斷為結論的推理。直言判斷是斷定事物具有或不具有某種性質的簡單判斷。直言判斷可以有六種類型，分別為：單稱肯定判斷和單稱否定判斷，特稱肯定判斷和特稱否定判斷，全稱肯定判斷和全稱否定判斷。

由此可見，簡單推理這節課是屬于演繹推理范疇，而且是屬于單稱肯定判斷與單稱否定判斷之間的直接推理。

二、什么是非A即B

A和非A是對立的，所以A即A，非A即非A，非非A即A。但非A卻不一定即B。如我不是中國人，那我就是美國人，這個判斷不一定對。當非A只有唯一的B時，才是非A即B。可以用圖表示（見下圖），也就是集合中只包含“A和B”，才有“非A即B”。

我們一起來看一下，如何得到非A即B的簡單推理過程。如“我不是男生”和“我是女生”是兩個直言判斷，由“我不是男生”直言判斷作為前提推出“我是女生”直言判斷作為結論的推理。因為在這個討論中，人的性別只有兩種對立的，男和女，當出現“我不是男生”信息時，也就是出現非A時，我們把非A的否定判斷改成肯定判斷，也就是“我是女生”，這就完成了簡單推理。

三、教學目標和重難點

教學參考書將本單元的目標定位為：“通過觀察、猜測等活動，使學生借助生活中的簡單事件初步理解邏輯推理的含義，并能按照一定的方式整理信息，進行推理。經歷簡單推理的過程，初步獲得一些簡單推理的經驗。”

從教科書編排的內容看，人教版教材在一年級的“找規律”中開始滲透推理，并在二年級專門設置“推理”單元進行教學。本單元主要安排了兩個例題，例1側重理解邏輯推理的含義，例2側重用邏輯推理解決問題。本節課的教學目標為理解簡單推理的含義，經歷簡單推理的過程，積累推理思考的經驗。如何理解簡單推理的含義是本節課的重點，而如何讓學生在經歷簡單推理的過程中顯性出學生的思維過程則是難點。

四、教學實踐

（一）喚醒經驗，感悟判斷的類型

1.出示小丁的信息。

小丁今年10歲；小丁是二年級（1）班的學生；

小丁不是女的；小丁拿的不是音樂書。

2.學生讀信息。

3.根據以上信息回答問題。

小丁的年齡（）歲；小丁的班級（）班；

小丁是（）的；小丁拿的是（ ）書。

4.小結：對于前兩個信息用“是”已經很明確了，直接回答即可。后兩條信息中用的“不是”，大家很快說出“小丁是男的”，小丁拿的什么書卻不能異口同聲了。

（二）基于經驗，利用表征，感悟“非A即B”的推理過程

1.出示信息“小丁不是女的，小丁是男的”。

師：你怎么想的？

根據學生回答，形成文字板書，并齊讀一次。

人的性別只有男、女兩種。

小丁不是女的，就是男的。

2.活動任務。這三句話一說，我們就知道了大家是怎么想的，如果不能說，你能畫個簡單的圖表示出三句話的意思嗎？

3.學生表征（部分作品實物投影展示）。

4.反饋。

左圖學生描述：用一個圈表示全世界的人，只有男的和女的，不是女的就叉掉，剩下就是男的，鉤起了。

右圖學生描述：第一幅圖就是說世界上只有男和女，第二幅圖說不是女的就去掉，第三幅圖就只能是男的了。

5.課件梳理，動態形成下圖。

師：如果用一個圈代表了全世界的人，它的性別有男和女這兩種情況，小丁說“我不是女的”，去掉了“女的”，那就是“男的”了，只有一種情況，也就確定了。

（三）從“不能”到“能”，經歷轉化“非A即B”過程

1.出示信息“小丁拿的不是音樂書。小丁拿的是（ ）書”。學生說可能是數學、語文、美術、英語、音樂等書。

2.比較。為什么告訴我們“小丁不是女的”，我們很快知道“小丁是男的”；而告訴“小丁拿的不是音樂書”，而小丁拿的書有那么多種情況呢？

生：因為男的女的只有兩種情況，而書有很多很多種，我們就沒有辦法確定是哪一種了。

生：我們讀的書有很多種，它告訴我們不是音樂書，還有語文、數學、書法等書。

3.課件動態梳理。

師：如果也用一個圈代表很多種書，用一個小圓點表示每一種書，里面有語文、數學、美術、英語、音樂等書。根據“小丁拿的不是音樂書”去掉一種，里面還有很多種書的情況，所以我們就不能確定了。

4.強化非A即B。

（1）設疑：假如老師給小丁的是什么書不知道，只知道小丁拿的不是音樂書，就是語文書。請你猜猜，老師給了小丁幾種書？哪幾種？（對應出示下圖）

（2）類比。假如小丁最后拿的是數學書，請你猜猜，老師給小丁幾種書？哪幾種？

（3）比較：比較一下，為什么剛才我們無法確定小丁拿的是什么書，而現在又能確定小丁拿的是數學書，它們有什么不同的地方嗎？

（4）小結：看來，只有知道兩種情況的時候，我們可以根據一個信息，從而得到另一個信息了。這種思考的過程，就是推理。（板書課題：簡單推理）

5.實現轉化，強化推理過程。

（1）設疑：如果給出的是三種情況，也就是三種書。小丁拿的不是音樂書，是（）書?

生：小丁拿的不是音樂書，還有語文書或者數學書，反正是音樂書以外的隨便一種書。

（2）過渡：看來三種情況，只告訴我們“拿的不是音樂書”，依然無法確定。假如再來一個信息呢？

（3）出示例題。“有語文、數學、音樂三本書，小紅、小麗、小剛各拿了一本書。他們分別拿的是什么書？”。

（4）學生口答。

（5）活動任務。

師：大家很快知道了什么人對應什么書，你能把找到的過程用簡單的圖表示出來，讓所有人分享你的思考過程嗎？

（6）作品反饋。（學生作品逐一實物投影）

（7）學生解讀。

左上圖1學生解讀：小紅拿的是語文書，所以語文書不用管了，剩下只有數學和音樂書了，小麗拿的不是數學書，那就是音樂書了，數學書就是小剛拿了。

左上圖2學生解讀：本來有三種書，小紅拿的是語文書，所以語文書就叉掉了。剩下只有兩種，小麗說不是數學書，那小麗拿的就是音樂書，音樂書也被叉掉了。那么就剩一種數學書，那就是小剛拿了。

學生逐一解讀。

（8）課件梳理（下圖動態逐步出示）。

師：有三本書，三個人各拿一本。我們無法確定。當得到一個信息“小紅拿的是語文書”，三個不確定信息變成兩個。當有了“小麗拿的是音樂書”這個信息時，兩個不確定的信息變成一個了，也就是確定了。這種思考的過程，就是推理。

（四）類比遷移，鞏固推理的過程

1.第一關。

師：怎么理解“十位不是1”？

生：十位不是1，說明十位是2。

生：十位不是1，說明1是個位。

小結：是的，十位不是1，既可以判斷十位上是幾，也可以判斷1在什么位。

類比：這道題和剛才研究的哪道題很像？

小結：這里的1和2相當于男的和女的，十位不是1就是2，跟小丁不是女的就是男的是一樣的。

2.第二關。

師：你是先根據哪條信息進行判斷的？你是怎么讓三種變成兩種再變成一種呢？

3.第三關。

師：你先讀哪條信息？怎么判斷？

生：1不是最高的，2也不是最高的，所以3就是最高的。

小結：可以根據“不是—不是—”也可以讓三種變成兩種情況，兩種變成一種情況。最高的排除了1和2，剩下就是3。

簡單推理一課的教學，學生獲取答案不是教學的關鍵。教師不給任何的提示，學生基本上都能得出結論。我們要的是學生是如何推理出來的，把整個推理過程顯性化，在對過程的分析中，把握信息聯結獲取新的信息，并且感悟原有信息和新的信息之間的聯結是合理的。無論是三種可能或者兩種可能，其實思考過程都是非A即B式的推理過程，只是無法跟二年級學生交流“小紅拿的是語文書，那么小麗和小剛拿的不是語文書，那就是數學和音樂書了”，只不過此時的B里面包含了“數學和音樂書”。推理無非就是思維過程，在這個過程中讓學生感悟邏輯推理的形式和道理，在感悟的基礎上積累經驗，逐漸形成自己的、合理的思維模式。