基于分形理論的高強混凝土動態(tài)損傷本構(gòu)關系*

焦楚杰，李習波，程從密，李從波

(1.廣州大學土木工程學院，廣東 廣州 510006； 2.清遠市省級職教基地籌建辦公室，廣東 清遠 511500)

混凝土是一種包括多級多相介質(zhì)的非均勻材料。在混凝土破壞過程中，其裂縫擴展方向通常按照“Z”字形路徑向外擴展，并且在尺寸較大的“Z”字形裂紋之中，穿插著較小尺寸的“Z”字形裂紋，錯綜復雜的裂紋使混凝土構(gòu)件的斷裂面表現(xiàn)出凸凹不平的破壞形態(tài)[1-2]。分形理論適用于描述上述不規(guī)則性、不確定性、模糊性和非線性[3-4]。本文中擬基于前期C60、C80級高強混凝土(high strength concrete, HSC)的SHPB沖擊實驗[5]，采用分形維數(shù)的方法分析HSC在SHPB沖擊荷載作用下的內(nèi)部細觀損傷演化行為，并對其采用動態(tài)損傷因子進行定量分析，研究HSC的動態(tài)損傷本構(gòu)關系。

1 基于分形理論的損傷演化

1.1 基本假定

Bazant等[6]發(fā)現(xiàn)，當測量尺度δ無限趨近于零時，分形曲線長度將趨近無窮大。然而，實際試塊的裂紋擴展路徑不可能達到無窮大的長度。因此可以假定，在量測尺度范圍[δmin，δmax]內(nèi)，試塊破壞由分形裂紋擴展而引起。此外，參照平板單向受拉I型單裂紋擴展斷裂問題(如圖1所示)，增加如下假定：混凝土試塊處于平面應力狀態(tài)，擴展裂紋具有分形自相似性。

假設荷載作用下試塊裂紋擴展長度為2l，裂紋擴展的投影長度為2l0，Mandelbrot等[7]研究表明：

(1)

式中：Df為裂紋的分形維數(shù)，取值范圍為1.0～2.0；δ為裂紋測量尺度，滿足：

(2)

式中：ri為橫截面分形維數(shù)的測量尺碼，以粗骨料的最小粒徑為觀測尺度；a為被覆蓋區(qū)域的特征尺寸，在R2平面區(qū)域上，a為區(qū)域的邊長；δ的取值范圍為[δmin，δmax]。

謝和平等[8]確定了混凝土損傷分形的物理標度域范圍，即δ∈(0，1]。由前期實驗結(jié)果，ri=5 mm，a=70 mm，因此：

(3)

依照Borodich力線法的定義[9]，當試塊無初始裂紋時，力線近似為直線。當試塊開裂后，裂紋區(qū)域的開始逐漸得到釋放，裂紋尖端附近的力線場表現(xiàn)出非均勻性，此時，開裂區(qū)域近似表現(xiàn)為菱形或橢圓形，如圖2所示。

根據(jù)分形曲線的特征，圖2中的裂紋區(qū)域邊界可以由標準Kock分形曲線構(gòu)造而成。如果構(gòu)造過程中裂紋區(qū)域的面積保持不變，則裂紋區(qū)域的邊界周長L為：

(4)

由此可得：

(5)

同時，由式(5)可得裂紋分形區(qū)域周長L與面積A(一般假設為常數(shù)λl02，其中λ為與開裂區(qū)域形狀有關的常數(shù))的關系：

(6)

1.2 分形損傷演化

在SHPB實驗中，HSC試塊在不同應力作用水平下，承載面內(nèi)微裂紋的分布具有分形的自相似性，圖3為顯微鏡觀測HSC試塊承載面上細觀微裂紋分布圖，在到達峰值應力前，損傷區(qū)域的分形維數(shù)隨著應力增加而增加；在峰值應力點時，分形維數(shù)在損傷區(qū)域達到極限值；超過峰值應力后，數(shù)值開始下降，分形維數(shù)在承載面損傷區(qū)域的變化反映出HSC試塊內(nèi)部細觀損傷演化行為。

在歐氏幾何圖形中，圖形面積A0與周長L0之間的關系為：

(7)

式中：η0為圖形的形狀參數(shù)。考慮分形效應的損傷變量時，參考裂紋區(qū)域邊界周長式(4)和文獻[10]，損傷面的分形周長L和表觀周長L0之間的關系為：

(8)

歐氏材料表觀損傷變量[11]定義為：

(9)

將式(7)代入式(9)，推導出試塊的表觀損傷變量ω可以表示為：

(10)

式中：Ak和Ac均為跟圖形形狀有關的參數(shù)，在同一研究對象中取值相等；Lk、Lc分別為Ak和Ac對應斷裂面的周長。

根據(jù)分形損傷變量ωf跟表觀損傷變量ω之間的關系，并結(jié)合升維法可以得到關系式[12]：

(11)

將式(6)代入到式(10)得：

(12)

將式(11)代入到式(12)可得出分形空間內(nèi)分形損傷變量:

(13)

由式(13)可知，分形損傷變量僅跟裂紋擴展分形維數(shù)有關，與量測尺度δ無關；又因為Ac是承載面的初始承載面積，因此Df,c= 1.0，并將其代入式(13)，則:

(14)

式(14)即為所求的混凝土分形損傷變量表達式。若Df,k=1，則16(1-1/Df.k)=1，表示裂紋還未開始擴張，Df,k=Df,c=1，即分形損傷變量跟表觀損傷變量相等，擴張裂紋為光滑，無分形效應。

對Df,k的取值范圍進行討論，由式(14)可知，則ωf是關于Df,k的增函數(shù)，因此Df,k在(1,2)范圍內(nèi)有最大取值。由式(3)和損傷的含義：

(15)

計算可得Df,k≤1.604，即Df,k的取值范圍為1.0～1.604。其物理意義是HSC試塊的分形損傷限值為1.604，超過該限值后，HSC試塊便失去承載能力。

2 HSC動態(tài)損傷本構(gòu)關系的建立

唐志平[13]針對環(huán)氧樹脂的沖擊力學性能研究，提出了朱-王-唐(ZWT)本構(gòu)模型：

(16)

在沖擊載荷條件下，HSC表現(xiàn)出更強的應變率相關性，并且還伴有動態(tài)損傷的發(fā)生和擴展，因此，需要對ZWT模型進行改進。式(16)中，f(ε)表示與應變率無關的平衡態(tài)應力，共由3項組成，描述了材料的非線性彈性響應。試塊在達到一定的應變時，混凝土試塊內(nèi)部的微裂紋逐漸出現(xiàn)失穩(wěn)擴展，導致試塊的損傷，應力-應變曲線表現(xiàn)出明顯的非線性，但是在應變較小的應力-應變曲線初始階段，實驗曲線表現(xiàn)為近似的線性[14]。因此可以把f(ε)近似為線彈性，即：

(17)

(18)

混凝土材料的本構(gòu)非線性主要源于動態(tài)損傷演化影響，而動態(tài)分形損傷演化與應變率敏感閾值密切相關。混凝土的應力-應變曲線上升段主要呈現(xiàn)線性，下降段主要呈現(xiàn)非線性。因此，要獲得混凝土應力-應變曲線的下降段，就必須考慮動態(tài)損傷演化的影響。

結(jié)合式(14)和式(18)，考慮動態(tài)分形損傷演化的混凝土動態(tài)損傷本構(gòu)方程為：

(19)

式(19)中待定參數(shù)較多，本文中采用如下方式進行處理。

(1) 忽略準靜態(tài)條件下黏彈性項的影響，根據(jù)準靜態(tài)應力-應變曲線切線的斜率可以直接確定E0。

(2) 低應變率條件下，高頻Maxwell單元的影響很小，將動態(tài)和準靜態(tài)應力-應變曲線(應變相同處)相減，得出式(20)，由此求得E1、θ1。由于相減部分為非線性不顯著段(ε<0.01)，此時試塊還無明顯損傷，可以不考慮損傷項的影響。

(20)

同理，由于高應變率條件下，低頻Maxwell體部分的影響很小，可以根據(jù)高應變率下SHPB實驗獲得的應力-應變曲線相減，得出式(21)，求得E2、θ2的取值范圍。

(21)

(3) 根據(jù)高應變率和準靜態(tài)應力-應變曲線相減，在前面兩步的基礎之上，再按照式(22)最終擬合出E1、θ1、E2、θ2。

(22)

3 HSC本構(gòu)模型的參數(shù)擬合與實驗驗證

采用前面介紹的3個步驟處理，利用高頻Maxwell單元和低頻Maxwell單元影響性的大小，對模型中的參數(shù)進行擬合求解?；趯崪y曲線，對HSC損傷本構(gòu)方程進行擬合。C60級HSC的擬合結(jié)果為：E0=29.4 GPa，E1=8.1 GPa，θ1=0.1 s，E2=25.7 GPa，θ2=9.0×10-5s；C80級HSC的擬合結(jié)果為：E0=34.4 GPa，E1=8.9 GPa，θ1=0.1 s，E2=36.2 GPa，θ2=2.1×10-5s。

采用HSC試塊在SHPB沖擊壓縮實驗結(jié)果對動態(tài)損傷本構(gòu)模型進行驗證。設分形損傷因子Df,k分別為1.1、1.3、1.5、1.6，并取4組不同應變率工況下的C60、C80級HSC的應力-應變曲線進行比較。將實測曲線與理論模型計算所得曲線畫于坐標平面內(nèi)，如圖4～5所示，其中實線為實測曲線，虛線為理論曲線。由圖4～5可知，理論曲線和實測曲線符合較好。

4 結(jié) 論

(1) 基于C60、C80級HSC的SHPB沖擊實驗，依照HSC試塊裂紋的不規(guī)則性、裂紋斷裂表面的粗糙性具有自相似性和無標度性，采用分形維數(shù)的方法來分析HSC試塊的內(nèi)部細觀損傷演化行為，推導出了HSC分形損傷變量表達式，標定了HSC裂紋的分形維數(shù)范圍為1.0～1.604，其物理意義是HSC的分形損傷限值為1.604，達到這個限值，HSC試塊失去承載能力。

(2) 參考ZWT模型，結(jié)合HSC實驗過程中的應變率相關性、動態(tài)損傷特性，以及近似恒應變率，推導出了動態(tài)分形損傷演化的HSC動態(tài)損傷本構(gòu)方程。為了便于方程參數(shù)的確定，根據(jù)準靜態(tài)、低應變率、高應變率荷載下的HSC材料特性，對方程的各子項進行取舍。

(3) 采用4組應變率工況下C60、C80級HSC應力-應變曲線，對HSC動態(tài)損傷本構(gòu)方程進行驗證，模型曲線和實驗曲線有較好的吻合。

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