基于元件組合理論的砂巖動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型*

江雅勤，吳帥峰，劉殿書，賈 貝，王 蒙，李曉璐

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083； 2.中國(guó)水利水電科學(xué)研究院巖土工程研究所，北京 100044)

在地下礦開(kāi)采、大斷面公路隧道、大型地下工程、高陡巖石邊坡、深埋洞室等巖體工程中，常常遇到砂巖動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。致密砂巖氣是國(guó)際上開(kāi)發(fā)規(guī)模最大的非常規(guī)天然氣。中國(guó)致密砂巖氣的儲(chǔ)量豐富，具有廣闊的發(fā)展前景，在天然氣能源結(jié)構(gòu)中的重要性日趨顯著[1-2]。砂巖在鉆井開(kāi)采時(shí)承受著沖擊荷載，要提高機(jī)械鉆井速度和開(kāi)發(fā)水平、降低開(kāi)發(fā)成本，對(duì)砂巖的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性進(jìn)行研究是十分必要的[3]。牛雷雷等[4]利用擺錘沖擊加載分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar， SHPB)裝置，得出動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度與加載應(yīng)變率具有正相關(guān)性的結(jié)論。朱晶晶[5]對(duì)砂巖進(jìn)行沖擊試驗(yàn)，結(jié)果表明在動(dòng)態(tài)應(yīng)力峰值附近，砂巖損傷發(fā)生變化，巖石內(nèi)部裂紋進(jìn)入發(fā)育階段。石祥超等[6]基于三軸動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，給出了砂巖的Johnson-Holmquist模型參數(shù)，并借助AUTODYN軟件模擬驗(yàn)證了參數(shù)的準(zhǔn)確性。趙光明等[7]對(duì)砂巖和泥巖兩種典型的軟巖進(jìn)行沖擊試驗(yàn)，通過(guò)用損傷體代替非線性彈簧，修改了朱-王-唐模型，建立了用于軟巖的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型。到目前為止，還未見(jiàn)能夠全面反映砂巖動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的本構(gòu)關(guān)系[8]，因此構(gòu)建砂巖的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型具有重要的實(shí)際意義。

本研究中利用SHPB對(duì)砂巖進(jìn)行沖擊壓縮試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，考慮應(yīng)變率效應(yīng)和損傷軟化效應(yīng)，結(jié)合元件組合理論，構(gòu)建基于損傷的砂巖本構(gòu)模型，并利用LS-DYNA軟件二次開(kāi)發(fā)平臺(tái)對(duì)致密砂巖的損傷本構(gòu)模型進(jìn)行模擬驗(yàn)證。

1 動(dòng)態(tài)力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)研究

從圖2和圖3可以看出，砂巖在沖擊作用下具有如下特征。

(1) 彈塑性特征。在不同的中低應(yīng)變率作用下，砂巖的本構(gòu)曲線在達(dá)到峰值應(yīng)力之前具有不同的特性。當(dāng)應(yīng)變率小于50 s-1時(shí)，砂巖的本構(gòu)曲線在達(dá)到峰值應(yīng)力前基本呈近似線彈性，部分試件表面有裂紋，但均未發(fā)生破碎。當(dāng)應(yīng)變率大于50 s-1時(shí)(見(jiàn)圖3)，達(dá)到峰值應(yīng)力前的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可分為3個(gè)階段。第1階段(AB段)為近似線彈性段。第2階段(BC段)中，應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率較小，應(yīng)變?cè)隽枯^大，而應(yīng)力增長(zhǎng)緩慢，表明砂巖進(jìn)入塑性階段。在應(yīng)力波作用下砂巖內(nèi)部原始裂隙擴(kuò)展，形成大量新裂隙，但還未形成宏觀上的破壞。第3階段(CD段)是塑性增強(qiáng)階段，斜率明顯增大，但遠(yuǎn)小于AB段斜率，應(yīng)力增加較快，逐漸達(dá)到應(yīng)力峰值。當(dāng)塑性應(yīng)變較小時(shí)，試件裂紋繼續(xù)發(fā)育，內(nèi)部發(fā)生損傷，但未發(fā)生明顯的宏觀破壞；當(dāng)應(yīng)變達(dá)到某臨界值時(shí)，試件發(fā)生破壞。達(dá)到峰值應(yīng)力后(DE段)，應(yīng)變持續(xù)緩慢增加，而應(yīng)力迅速下降，曲線為正卸載，未出現(xiàn)回彈現(xiàn)象，表明砂巖發(fā)生不可逆的變形損傷和破壞。

式中：KD為損傷待定系數(shù)，β為材料常數(shù)。

(3) 黏性特征。砂巖的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度與應(yīng)變率具有明顯的相關(guān)性，即動(dòng)態(tài)強(qiáng)度隨著應(yīng)變率的增大而增大。這種特征在本構(gòu)模型中描述為黏性，在元件理論中用牛頓體表示：

式中：σ為應(yīng)力，η為黏滯系數(shù)。

2 沖擊作用下砂巖動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型構(gòu)建

對(duì)于三參量模型，根據(jù)串、并聯(lián)元件基本規(guī)則，可得：

其中：

由此可得：

因此式(6)可化為：

其中：

采用拉普拉斯變換消去函數(shù)中的應(yīng)力率項(xiàng)，使本構(gòu)方程變?yōu)閼?yīng)變和應(yīng)變率的函數(shù)。對(duì)式(11)進(jìn)行拉普拉斯變換[11]，可得：

式中：s為復(fù)變參量。把邊界條件σ2(0)=0代入式(13)，得到：

對(duì)式(14)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，可得：

將式(16)化簡(jiǎn)整理得：

根據(jù)應(yīng)變率定義，式(17)可化為：

對(duì)于Maxwell模型，由串聯(lián)得:

其中:

則

對(duì)式(21)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：

把式(19)代入式(22)，結(jié)合邊界條件ε1(0)=0時(shí)，σ1(0)=0，式(22)變換為:

再由拉普拉斯逆變換，求得:

根據(jù)圖4構(gòu)建的含損傷的砂巖本構(gòu)模型為:

式中：E1、E2、E3、E4為擬合參數(shù)。

3 SHPB沖擊砂巖模擬應(yīng)用

LS-DYNA是常用的顯式非線性動(dòng)力分析程序，以Lagrange算法為主，能夠計(jì)算碰撞、爆炸、沖擊等問(wèn)題。運(yùn)用LS-DYNA進(jìn)行SHPB系統(tǒng)的模擬計(jì)算時(shí)，采用Lagrange中心差分算法，通過(guò)用戶材料子程序UMAT[12]定義模型，通過(guò)定義失效關(guān)鍵字*MAT_ADD_EROSION實(shí)現(xiàn)單元失效[13]。自定義本構(gòu)模型在LS-DYNA中的計(jì)算流程如圖5所示，按上述方法編譯程序，使用新生成的求解器提交K文件至求解器中求解。

按照試驗(yàn)設(shè)備建立直徑為50 mm的SHPB系統(tǒng)模型，其中撞擊桿、入射桿和透射桿長(zhǎng)度分別為400、2 000和2 000 mm，試件長(zhǎng)度為50 mm。系統(tǒng)桿密度為2 800 kg/m3，彈性模量為77 GPa，泊松比為0.27。對(duì)7.5、9.5、11.5和13.5 m/s 4種不同沖擊速度(v)下的SHPB試驗(yàn)進(jìn)行模擬，與對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)情況進(jìn)行比較分析。

圖6為4種沖擊速度下砂巖試驗(yàn)和數(shù)值模擬得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。從圖6中可以看出：對(duì)于彈性極限及其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，試驗(yàn)曲線和模擬曲線具有較好的一致性；模擬曲線能夠較好地描述彈性段結(jié)束時(shí)短暫的塑性段；在塑性段結(jié)束后，模擬曲線同樣能準(zhǔn)確地描述塑性強(qiáng)化段，具有與試驗(yàn)曲線較一致的峰值強(qiáng)度，所對(duì)應(yīng)的峰值應(yīng)變較試驗(yàn)曲線略小，而最大應(yīng)變基本一致。模擬結(jié)果顯示出與試驗(yàn)結(jié)果相同的應(yīng)變率效應(yīng)，砂巖的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度隨著沖擊速度的提高而提高。說(shuō)明本研究中所構(gòu)建的動(dòng)態(tài)本構(gòu)方程可以較全面地反映砂巖的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系，具有較好的模擬效果。

方法v/(m·s-1)ε/s-1σd,max/MPaεmax/10-3方法v/(m·s-1)ε/s-1σd,max/MPaεmax/10-3模擬7.555.5348.081.820試驗(yàn)7.552.3950.932.000模擬9.564.0663.182.170試驗(yàn)9.564.7163.322.260模擬11.581.3688.943.920試驗(yàn)11.578.2395.873.900模擬13.585.2597.146.080試驗(yàn)13.590.69102.746.017

4 結(jié) 論

(1) 對(duì)砂巖進(jìn)行了動(dòng)態(tài)沖擊試驗(yàn)，由砂巖的動(dòng)態(tài)本構(gòu)曲線可知：砂巖具有動(dòng)態(tài)強(qiáng)度隨應(yīng)變率增大而增強(qiáng)的黏性特征，同時(shí)具有近似線彈性特征、理想塑性及塑性增強(qiáng)特征；損傷的發(fā)展與應(yīng)變率相關(guān)，并由此建立了損傷與應(yīng)變率及應(yīng)變的函數(shù)關(guān)系。

(2) 根據(jù)砂巖的動(dòng)態(tài)力學(xué)特征，采用元件組合理論，構(gòu)建了由損傷體、Maxwell模型和三參量模型組合而成的含損傷的砂巖本構(gòu)模型。

(3) 利用LS-DYNA對(duì)所構(gòu)建的本構(gòu)模型進(jìn)行內(nèi)嵌編譯，并對(duì)砂巖進(jìn)行沖擊試驗(yàn)?zāi)M。結(jié)果顯示，模型所得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈性段、動(dòng)態(tài)峰值強(qiáng)度及最大應(yīng)變均與試驗(yàn)情況一致，且相對(duì)誤差小于10%，表明該模型可以較全面、準(zhǔn)確地反映砂巖的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系。

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