大膽猜想 小心求證—淺析歸納推理在小學數學教學中的影響

馬志沁

（江蘇省南通市實驗小學，江蘇南通 226000）

引 言

著有《數學與猜想》的波利亞說：“先猜后證，這是大多數的發現之道[1]。”他在著作中討論了一種圍繞猜想而展開的推理方法——歸納推理。對于這樣的推理方法，小學數學教材中沒有明確地給出定義。但在不同版本的教材、不同的領域中都涉及了豐富的歸納推理的教學內容，以促進小學生數學思維能力的整體進步。

一、歸納推理的地位與作用

推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式[2]。它作為《義務教育數學課程課標(2011版)》中的十個核心概念之一，經常被引用到專著、論文和課堂教學中。可以說，學習數學就是學習推理。對于推理，一般分為演繹推理和合情推理兩大類。本文所討論的歸納推理是一種用途非常廣泛的特殊合情推理。歸納推理所處的位置如圖1所示。

那么，歸納推理到底是一種怎樣的推理過程呢？它是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理。它的思維進程是從特殊到一般。例如，在《等式的性質》一課中，就是從多個具體的等式所反映的共同特點推出一般性結論的，從而做出歸納：等式的兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式；等式的兩邊同時乘以或除以同一個不是0的數，所得結果仍然是等式。小學生受到認知水平和知識體系不完善的限制，讓他們由理論到理論做出嚴格的證明是不現實的。在這樣的背景下，歸納推理成了必然的選擇，從部分到整體，從特殊到一般，從具體到抽象。由此可見，小學生通過歸納推理形成數學概念，構建起了基礎的知識體系，并利用其在生活中解決實際問題。

圖1 歸納推理所處的位置

二、歸納推理的培養與發展

歸納推理的基本步驟如下：舉例—觀察—猜想—驗證。教師要引導學生經歷數學活動，在提取生活經驗的基礎上，合乎情理地舉例子。再在細致觀察的基礎上，大膽提出猜想。然后開展頭腦風暴，多角度、多層面地進行驗證，最終得出結論。例如，南通王海峰教師執教《和的奇偶性》一課時提出：兩個自然數相加的和是奇數還是偶數，與什么有關？學生借助之前學習所積累的經驗，很輕松地提出自己的猜想，并以一些加法算式為例，驗證了自己的猜想。這一探索規律的教學，是典型的歸納推理的應用[3]。

教師在教學中一定要重視引導并鼓勵學生清晰地表達自己的推理過程。學生在表達中循序漸進地提升數學素養。例如，要經常追問：“你是怎樣想的？為什么是這樣的？其他人能說得更清楚一些嗎？還有其他想法嗎？”有些人把數學看得很神秘，學不好數學，其癥結就在于思維的混沌不清[4]。

我認為歸納推理的核心在于猜想。學生只有通過操作、舉例、圖畫、計算、觀察等提出自己的猜想，才能進一步地進行展開和驗證。例如，在教學《三角形的三邊關系》一課中，教師首先給出三角形兩條邊的長度，然后提問第三條邊可以是多長？學生開始操作剪線段、拼、擺，獲得初步的經驗。接著，教師讓學生思考：“三條邊什么時候能圍成三角形？什么時候又不能圍成三角形？”學生提出猜想，又驗證猜想，在充分的交流中表達自己的推理，最終獲得結論。可以說，整節課都是圍繞著“猜想”這一環節展開的。

另外，教師對學生的推理要進行發展性的評價，這樣有利于提高學生的推理能力。教師恰當的評價具有導向、激勵、調節、檢查、甄別、篩選等功能。在教師評價學生推理過程的基礎上，又能引起學生及學生之間對推理過程的自我評價，及時提升自己的推理水平。例如，王海峰教師的評價：“及時發現，及時總結，而且有理有據，很棒！還有嗎？”再如，“這個猜測很大膽，能說說你的理由嗎？”通過有效的評價，可以讓學生放下戒備，增強自信，專注于歸納推理的思維進程中。

三、歸納推理的局限與彌補

至此，歸納推理在小學數學教學中的重要性已經是不言而喻的。但是，運用這種推理方法并不一定能獲得真理。舉個通俗的例子：“判斷所有的天鵝都是白的。”要得出這樣的結論，按照歸納推理的模式是這樣的：首先舉例我們所能看到的白天鵝；然后提出猜想，即所有的天鵝都是白的；再想辦法舉出更多的例子去驗證是否正確，暫時得出結論“所有的天鵝都是白的”；直到某一天某一個人發現原來天鵝還有黑色的后，就推翻了之前的結論。著名的“哥德巴赫猜想”通過舉例驗證是完全可行的，但是卻無法在理論上加以證明，目前是陳景潤通過改進方法獲得了巨大的突破。

這時候歸納推理的局限性就顯現了。那么該怎么辦呢？還記得上面的思維導圖嗎？對，就是用演繹推理來證明猜想的正確與否。演繹推理是從已經證明的事實出發，按照邏輯思考得到某個具體的結論。它的思維進程是從一般到特殊。例如，南通顧娟教師在執教《和的奇偶性》一課中，學生提出猜想“偶數＋偶數＝偶數”。顧娟教師讓學生舉例驗證，問：“這樣的例子舉得完嗎？萬一有一個不符合規律的呢？想一想，還有沒有其他的辦法可以驗證？”學生在經過理性分析后，探究出了這一規律背后的原因。有的學生用數形結合的辦法，有的學生用提取公因數的辦法，有的學生用看個位數字的辦法……演繹推理對歸納推理起到了很好的補充作用，也是相互佐證，給予我們教學很大的啟發。

結 語

如果說大膽猜想是點燃了小學生智慧的火花，那么小心求證就是幫助他們掌握火候。作為小學數學教師，一定要清醒地認識到歸納推理對于數學教學的影響。最后，我希望教師們能夠遵循波利亞在《教師十誡》中所提出的那樣，小心呵護學生稚嫩的數學思維，給予他們足夠的發展空間。

[1] G.波利亞.數學與猜想（第一卷）[M].北京:科學出版社,2001.

[2] 吳正憲、劉勁苓、劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].北京:教育科學出版社,2014.

[3] 顧娟,陳晶.知識是生長的:“和的奇偶性”教學實錄與評析[J].小學數學教育,2016,(Z2):118-121.

[4] 王海峰,施丹瑾.引領兒童在思維情境中走向通透:“和的奇偶性”教學實踐與評析[J].小學數學教師,2016,(05):48-51.