談構造二元一次方程組解題

張鴻飛 唐昌芹

二元一次方程是解決有關數學問題的重要工具.本文通過例題談如何利用已知條件構造二元一次方程組解有關數學題.

一、利用非負數的性質構造方程組

若 ，求x，y的值.

解：

所以 ，解得

二、利用定義新運算構造方程組

對有理數x，y定義新運算 （a，，b為常數，等式右邊是通常的加法與乘法運算），已知 ，求 =?????????????????_______

解：由新定義知： ，解得

所以 所以 =

三、利用方程的定義構造方程組

方程 是關于x，y的二元一次方程.

求 的值.

解：由二元一次方程的定義，有 ，即 ，

解得

所以 =

四、利用方程組的解的定義構造方程組

已知方程組 的解為 ，求a，b的值.

解：由方程組的解的定義，有 ，解得

五、利用代數式的值的概念構造方程組

已知 ，當 時，它的值是2；當 時，它的值是8，

求b，c的值.

解：由代數式的值的概念，有 ，

即 ， 解得

六、利用幾何圖形構造方程組

例6.用8塊相同的長方形地磚拼成一塊矩形地面，如圖所示，

求每塊地磚的長與寬.

解：設每塊地磚的長為xcm，寬為ycm

根據題意，得

解這個方程組，得

即每塊地磚的長為1m，寬為 m

七、利用實際問題構造方程組

例7.在某校舉辦的足球比賽中規定：勝一場得3 分，平一場得1分，負一場得0分，某班足球隊參加了12場比賽，共得22分，已知這個隊只輸了2場，那么此隊勝幾場？平幾場？

解：設這支足球隊勝x場，平y場

由題意得 解這個方程組，得

利用方程 的性質構造方程組

我們知道：若方程 有無窮多個解，則有 .利用這一性質可以構造方程組.

例8.如果關于x的方程 有無窮多個解，試求a，b的值.

解：將方程整理，得 ，

因為方程有無窮多個解，所以有： 解得

八、利用相反數的性質構造方程組

例9. 的相反數是 ， 的相反數是 ，求 的值.

解：由互為相反數的性質：互為相反數的兩數之和等于0，

有： 解得

所以 =

作者簡介

張鴻飛，男，49歲，教師，中學一級教師，本科。

唐昌芹（1973-）女，現職稱：中學一級教師，本科。