復變函數與積分變換的教學體驗

□文 重慶師范大學數學學院 曾春娜 柏仕坤

重慶交通大學數學與統計學院 胡 進

復變函數與積分變換是高等數學的后續課程，在電氣工程、通信與控制、信號分析與圖像處理、流體力學等眾多領域有著廣泛的應用，是工科教育教學體系中重要的基礎課程。本課程在培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和科學計算能力等方面有著重要的作用，也為學生后續學習相關專業課奠定了重要的理論基礎。

我們在多年的教學中發現，由于該課程理論性和邏輯性強，而學生普遍存在“重計算，輕理論”的情況，搞不清楚各章節及知識點之間的關系，再加之學生重視程度不夠，因此常常反映課程難以理解。另一方面，教師在授課過程中往往存在“重理論，輕應用”的傾向，大量時間用于定理的證明，而忽視了在實際問題中的應用，再加上授課形式單一，授課內容一成不變，導致學生難以充分掌握這門課程的知識與方法。我們多年從事復變函數與積分變換的教學工作，總結了如下一些該課程的教學經驗和方法，現做一簡單介紹。

一、類比/對比教學法

復變函數與積分變換作為高等數學的后續課程，在課程體系和知識結構方面與高等數學有很多相似之處，也有一些明顯差異。我們在教學過程中，從復變函數與高等數學的課程體系入手，對兩門課程的知識點逐一進行比較，找到二者的異同點。這樣不僅對復變函數與積分變換整體的知識體系有了更加清晰的認識，而且對其知識點也有更加透徹的掌握。

例如，我們會在課程的開始階段將高等數學和復變函數的整體框架作對比，發現兩門課程研究的主要內容都是函數、極限、連續、微分、積分、級數。進一步，在學習的過程中我們會發現函數，極限，連續這三部分內容在復變函數中所占篇幅很少，主要原因是其與高等數學中相應部分區別不大。而微分、積分部分差別就比較大，因此篇幅比重也比較大；微分部分復變函數中解析的概念是高等數學所沒有的，有很多非常獨特的性質，而積分部分復變函數側重研究的是圍線積分。此外，將積分與復級數結合起來，還得到了留數這個高等數學里沒有的概念。通過這些比較，學生可以對復變函數所學知識點有比較清晰的認識。

又比如，在學習復積分時，我們有兩種方式來理解復積分的概念。一種方式是將函數看成復變量z的函數，此時積分可以看成是高等數學中一元函數定積分的形式；另一種方式是將函數拆成實部和虛部，相應的積分也拆成實部和虛部，此時可以得到積分的實部和虛部分別是兩個高等數學中的第二型曲線積分。后一種方式使我們明白復積分的本質是兩個第二型曲線積分，在證明Cauchy積分定理的時候有非常重要的作用；而前一種方式則可以幫助我們計算復積分，特別是利用參數方程計算復積分。

通過類比和對比，學生可以更好地理解復變函數中的理論，加深對概念的理解，簡化對理論的闡述，化繁為簡。

二、利用思維導圖，幫助學生搞清知識點之間的聯系

復變函數與積分變換中概念和定理比較多，學生往往搞不清知識點之間的聯系，也搞不清為什么研究這些知識點。為了幫助學生加深對概念的理解和記憶，我們引入了思維導圖這個圖形化思維的工具，利用節點和節點間的關聯構造了知識點的網絡，利用圖形形象化的幫助學生理解知識點之間的聯系。

如上圖就是我們總結的第三章關于復積分計算的思維導圖。圖中總結了不同情況下計算復積分的方法，特別是有奇點的情況下，從一個奇點，到多個奇點，一個奇點又分為不同的情況，逐漸深入。通過上述思維導圖，學生可以對復積分這一部分有更清晰的認識，對為什么復積分要這樣研究以及知識點前后之間的關聯理解的更加透徹。由此可見，思維導圖可以幫助學生將繁雜凌亂的知識點整合成一個整體，發現知識點之間的關聯，并加以歸納整理，形成一個知識結構系統，從整體上把握相關知識。

三、將數學史融入教學，提高學習興趣

復變函數與積分變換這門課程理論性比較強，學生學習起來感覺枯燥，因此如何調動學生積極性就非常重要。我們將數學史融入教學之中，活躍了課堂氣氛，調動了學生的積極性，大大提高了學習興趣。如在復變函數與積分變換的緒論中，我們從復數的發現入手，介紹整個復變函數的發展史，講述了意大利數學家卡爾達諾是如何第一次發現了復數卻因為不知道復數的意義而被很多人所誤解，后來歐拉發現了歐拉公式，高斯和漢密爾頓將復數表示成實部和虛部的形式，復數才逐漸為人們所理解，“復變函數”這門一數學分支才得以順利地建立和發展。在講述這些數學故事時，我們會介紹卡爾達諾所在時期的數學發展情況，介紹大數學家歐拉和高斯的生平故事，介紹歐拉公式的重要性。學生對這些數學軼事很感興趣，通過這些故事不僅調動了學生學習的積極性，也可以讓學生們感受到數學家的人格魅力，鼓勵學生努力學習。

四、課程與專業結合，實現學以致用

復變函數與積分變換不同于數學專業的復變函數論，復變函數是理論基礎，而其重點則是積分變換，積分變換對工科學生的后續課程有著重要的作用。很多數學專業出身的老師，對相關的背景知識不甚了解，僅僅將概念和方法灌輸給學生，而不講在實際問題中到底有何作用，學生感覺很枯燥，也缺乏學習的動力。

我們在教學中注重理論聯系實際，結合應用背景來講解概念和理論，讓學生了解這門學科的意義，增強了學習的積極性。例如，在講解積分變換時向學生介紹傅氏變換的本質是時域與頻率域之間的轉化，因此廣泛應用于信號分析，比如信號處理中的信號消噪過程；而拉氏變換的本質時域與復頻域間的轉化，由于其微分性質，廣泛應用于微積分方程的求解，是自動控制課程中非常常用的工具。同時，利用多媒體手段，將傅里葉變換和拉普拉斯變換在電路分析、通信工程、信號處理等專業課程中的應用刻畫出來，很好地解決了理論與實際相脫節的問題，幫助學生建立明確的學習目標，增強學好這門課程的信心。◇