函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

摘 要：所謂函數(shù)思想，是要充分合理地運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)來分析，轉(zhuǎn)化和解決問題。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中通常會(huì)遇到某些問題從表面來看并非函數(shù)問題，我們往往不直接對(duì)問題求解，而是通過一系列的數(shù)學(xué)變形，構(gòu)造等將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，并用函數(shù)相關(guān)的知識(shí)來解決它，從而間接地求解問題。下面結(jié)合幾個(gè)實(shí)例談?wù)労瘮?shù)思想在不等式，解析幾何，數(shù)列，方程中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用

一、 函數(shù)在不等式中的應(yīng)用

若所給的不等式可以通過變量分離使參數(shù)與主元分離于不等式的兩邊，從而構(gòu)造新的函數(shù)，然后將求參數(shù)范圍使得不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的值域的問題。

例 已知x∈（-∞，1]時(shí)，不等式1+2x+（a-a2）4x>0恒成立，求a的取值范圍

解：令2x=t，∵x∈（-∞，1]∴t∈（0，2]，∴原不等式轉(zhuǎn)化為a2-a

∵f（t）=t+1t2=1t2+1t=1t+122-14，∵1t∈[12，+∞），∴f（t）min=f（2）=34，∴a2-a<34∴-12

二、 函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

在解析幾何中，某些動(dòng)點(diǎn)動(dòng)直線在變化中，就引出了相互制約的量，這些量之間就可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，因此解析幾何問題通常就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)問題。

例 已知點(diǎn)A（0，2）和拋物線y2=x+4上兩點(diǎn)B、C，使得AB⊥BC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)取值范圍。

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（y21-4，y1）點(diǎn)C（y2-4，y），顯然y21-4≠0，故KAB=y1-2y21-4=1y1+2，由于AB⊥BC，∴KBC=-（y1+2），從而y-y1=-（y1+2）[x-（y21-4）]①，y2=x+4②，

由①②，消去x，注意到y(tǒng)≠y1，得（2+y1）（y+y1）+1=0，即y21+（2+y）y1+（2y+1）=0

由δ≥0，解得y≤0或y≥4.則當(dāng)y=0時(shí)，B的坐標(biāo)為（-3，-1）；當(dāng)y=4時(shí)，B的坐標(biāo)為（5，-3），均滿足題意。故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)取值范圍為（-∞，0]，[4，+∞）

三、 函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列的通項(xiàng)公式就是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)求數(shù)列的最大值最小值需要分析數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，找準(zhǔn)單調(diào)區(qū)間，或畫出圖像觀察最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。在解決有些數(shù)列問題時(shí)，要找出題目與函數(shù)之間的關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題。

例 已知an=n-97n-98，則數(shù)列{an}的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是

A. a1，a30 B. a1，a9

C. a10，a9D. a10，a3o

解：將an=n-97n-98分離常數(shù)得an=1+98-97n-98可以構(gòu)造反比例函數(shù)f（x）=1+98-97x-98，則該函數(shù)圖像以點(diǎn)（1，98）為中心成中心對(duì)稱，則可知a9最小，a10最大

四、 函數(shù)思想在方程中的應(yīng)用

函數(shù)與方程關(guān)系密切，函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程，可見函數(shù)與方程之間可以相互轉(zhuǎn)化。對(duì)于一般常規(guī)的方程可以直接求解，但是對(duì)于一些特殊的代數(shù)方程，超越方程，高次方程用一般的求解法難以奏效，因此要觀察方程，通過移項(xiàng)，換元，配方等將方程與函數(shù)結(jié)合起來，把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題。

例 解方程（x+6）1999+x1999+2x+6=0

解：原方程可化為（x+6）1999+（x+6）=（-x）1999+（-x），利用等號(hào)兩邊的對(duì)稱性，可構(gòu)造函數(shù)f（t）=t1999+t，故方程轉(zhuǎn)化為兩邊函數(shù)值相等f（x+6）=f（-x），根據(jù)f（x）在R上是遞增函數(shù)，把函數(shù)值相等轉(zhuǎn)化為自變量相等，即x+6=-x，可解得x=-3

函數(shù)是數(shù)學(xué)中主要的內(nèi)容之一，是貫穿整個(gè)高中的一條主線，函數(shù)思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想之一，它的應(yīng)用廣泛，與其他的數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合，分類討論，化歸轉(zhuǎn)化等）存在著密切的聯(lián)系，除了上述以外，還可以應(yīng)用于其他的分支，如立體幾何，最優(yōu)問題等。所以在教學(xué)過程中，老師應(yīng)有意識(shí)的向?qū)W生滲透一些函數(shù)思想，用函數(shù)思想看待問題，這樣既可以讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用有更深刻的理解，也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)。解題時(shí)學(xué)生應(yīng)仔細(xì)分析探究問題，注挖掘題目隱含的條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式然后運(yùn)用函數(shù)思想去間接解決問題。

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作者簡(jiǎn)介：

黃渝夏，四川省南充市，西華師范大學(xué)。