探求一類最值問題的解題策略

程敬偉

（福建省惠安縣第三中學）

題目 求函數（fx）=x+（0＜x≤1）的最小值。

本題函數的結構特征很容易讓人產生應用均值不等式求解的思路,而且常會有以下解法：由于 0＜x≤1,所以 f（x）=x+然是個錯解。在利用均值不等式求最值時“,一正二定三相等”這三個條件缺一不可，本題出現錯誤的原因在于沒有驗證不等式的等號是否成立。事實上，若x=,則x=±2,這在條件中定義域的制約下是無法取到的，因此，本題并不能直接簡單地通過均值不等式來求解。

本文就上題為例探求其解題策略，以求達到解決型如（fx）=mx+（m，n都是大于0的常數）的一類函數在某個區間上的最值問題。

策略一：創設條件應用均值不等式求最值

∵0＜x≤（當且僅當x=1時，上式兩個等號同時成立），∴函數（fx）的最小值為5。

評析：應用均值不等式是解決本題的直觀想法，但必須要創造應用的條件。合理拆分項或配湊因式是常用的創設技巧，這需要在實踐中多多體驗、歸納、總結。

策略二：確定函數的單調性求最值

方式1：（利用定義確定函數的單調性）

設 0＜x1＜x2≤1，∴（fx2）-（fx1）＜0，即 （fx2）＜（fx1），∴ 函數 （fx）在x∈（0,1］上是減函數，∴當x=1時，函數的最小值為5。

方式2：（利用導數確定函數的單調性）

對函數 （fx）求導∴f′（x）＜0，∴ 函數 （fx）在x∈（0,1］上是減函數，∴ 當x=1時，函數 （fx）的最小值為5。

方式3：（利用單調函數的性質確定函數的單調性）

函數式可配方在x∈（0,1］上是增函數，∴函上都是減函數，∴函數函數，∴當x=1時，函數（fx）的最小值為5。

評析：創設應用均值不等式的條件有時技巧性較強，學生不易掌握，因此確定函數的單調性求最值是解決此類問題最主要的方法，本法有三種方式而應用導數是最為簡捷方便的。

策略三：作出函數圖象，應用數形結合思想求最值

函數 （fx）=x+的圖象如下所示，則可知當0＜x≤1時，（fx）是減函數，∴當x=1時，函數的最小值為5。

評析：函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑、獲得問題結果的重要工具，要重視這種數形結合解題的思想方法。

策略四：構建函數與方程，應用根的分布求最值

原函數式可變形為方程 x2-y·x+4=0，則方程在x∈（0，1］上有實數解。令 g（x）=x2-y·x+4，則 g（x）在（0，1］內有零點且故函數的最小值為5。

評析：函數與方程思想是解決最值問題的重要途徑。本題通過構建二次方程，利用根的分布來處理，問題迎刃而解。

通過以上對本題不同的處理策略的探索，不僅讓學生認識到把握問題本質的必要性，而且體會到從多角度、多方位思考問題的重要性，這不僅有利于培養學生良好的思維品質，激發了學生的學習興趣，而且對于提高學生綜合運用知識的能力大有裨益。