從圓錐曲線定義教學談數學運算素養的培養與提高

馬常軍 戴 慧

（江蘇省鎮江市丹徒高級中學）

新課程對高中數學的“核心素養”給出了明確的定義，“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的、與數學有關的關鍵能力和思維品質”。這對教師提出了更高的要求，要把對數學文化的了解，對數學公理、定理的探究，對數學公式的推導，以及運用數學思想方法解決實際問題貫穿到整個課堂教學活動中。數學運算是其中重要的核心素養之一，如何結合所學，使用正確的方法簡化計算，是培養運算能力的重要途徑。下面我針對“圓錐曲線定義的應用”這一教學內容具體闡述。

一、題意指向明確，準確運用定義

例1.雙曲線上的點P到它的右準線的距離為么，點P到它的左焦點的距離為__________。

分析：題目中出現右準線，容易想到運用第二定義先把點到右準線的距離轉化為到右焦點的距離，再運用第一定義求出到左焦點的距離，

二、打破思維定式，巧妙轉化化歸

例2.已知橢圓的方程右焦點，A（2，1），P 為橢圓上一點，小值分別是_______________。

分析：部分學生會根據以往的解題經驗設P 點坐標（x，y），再用兩點間距離公式得及復雜根式函數的求最值問題，學生無從下手，停滯不前.我們可以打破設點求距離這種正向思維的定式，根據本題求解目標中有一項橢圓上的一點到右焦點的距離，嘗試用橢圓的第一定義，如圖所示，因為P為橢圓上一點，

由第（i）題

∴PF1+

三、多種方法優化，定義優先

例3.過橢圓C：左焦焦點 F，傾斜角為60°的直線交橢圓于點A，B，_______。

分析：本題可以按照常規思路，根據傾斜角為60°設直線方程，聯立方程組，用韋達定理建立關系，消元得到a，b，c的關系，進而求得離心率；也可以設點的參數方程求解，但是這兩種方法的計算量太大，注意到與焦點有關，我們嘗試用橢圓的第一定義求解。

解法1 設橢圓的左、右焦點分AF1=2t，BF1=（tt＞0），由橢圓的定義知，AF2=2a-2t，BF2=2a-t. 在 △AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得：（2a-2t）2=（2t）2+（2c）2-2（2t）（2c）cos60°，（2a-t）2=t2+（2c）-2（t2c）cos120°消去t得橢圓

這種方法雖然計算有所簡化，但是注意到題目條件涉及橢圓上的點到焦點的距離，又是求離心率，這恰恰是橢圓第二定義三個量中的兩個，所以用第二定義解決本題應該最簡便。

解法2 設AA′，BB′分別為A、B兩點到左準線的距離，由第二定義可得AA

∴AC=AA′-B

由題意知，在Rt△ABC中∠BAC=60°，

∴AB=2AC，又 AB=AF+BF，

∴AF+BF=

面對多種方法，需要學生有敏銳的分析能力，還要對計算量有所預判，才能選擇最優解法，促進運算能力的提升。

數學運算這一核心素養的形成，需要在每一次課堂教學中不斷強化，這就需要教師指導學生仔細觀察題目，正確理解運算的對象，對所有可行的方法做到心中有數，并能選擇最優方法，體現數形結合、轉化化歸等數學思想.學生在這一過程中不但發展了運算能力，培養了思維能力，對數學建模核心素養的形成起到促進作用，最終形成可持續發展的數學素養。