三棱錐外接球問題的模式探究

吳文姬

（福建師大二附中）

我們知道棱長分別為a、b、c的長方體，其外接球的直徑就是長方體的體對角線，故而其外接球半徑要是與長方體共頂點(diǎn)的三棱錐，我們都可以將之補(bǔ)成長方體，從而快速解題.那么由長方體頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐究竟有哪些類型呢？

模型1：（三棱互垂型）棱面垂直，底面是直角三角形

如圖1，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是直角三角形，PA=a，△ABC兩直角邊分別為b，c，則其外接球的半

例 1.在四面體SABC中，SA⊥平面 ABC,∠ABC=90°，SA=AC=2，AB=1，則其外接球的表面積為_________。

解析：如圖2，這個三棱錐互垂的三棱分別為SA，AB，BC,故可以將其補(bǔ)成如圖3的長方體，因此其外接球半徑R=

模型2：（斜邊公共型）一棱所對的兩個角都是直角

如圖 4，已知三棱錐 P-ABC 中，PC⊥AC，PB⊥AB，且 AP=1，

說明：AP中點(diǎn)O到A，B，C，P四點(diǎn)的距離相等，因此AP就是外接球的直徑。需要特別說明的是AB與AC是否垂直并不影響這個結(jié)論。

例2.在三棱錐P-ABC中∠ABC=，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（ ）。

A.4π B.π C.π D.16π

解析：如圖5，在Rt△ABC中，由條件可知∠APC=,因此AC是兩直角三角形的公共斜邊，即外接球的直徑。所以外接球半徑R=2,故答案選D。

模型3：（對棱相等型）三對對棱分別相等

如圖 6，已知三棱錐 P-ABC 中，PA=BC=l1，PB=AC=l2，且 PC=

例3.四面體中A-BCD中，AB=CD=2，AC=B

解析：如圖7，三棱錐A-BCD因三對對棱相等，可以補(bǔ)成如圖因此答案為6π。

這三個模型是以長方體為基礎(chǔ)的模型中提煉出來，學(xué)生在解題時應(yīng)認(rèn)真分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用這三種模型，就能化繁為簡，大大提高解題效率。

［1］趙舸.三棱錐的三視圖問題解法掃描［J］.高中生，2015（33）.

［2］陶濤,劉艷清.用長方體模型解決棱錐外接球問題［J］.高中生，2015（33）.