“確定圓的條件”教學設計

曹鳴軍

[摘 要] 初中數學綜合考核了學生基礎知識的學習狀況以及運用所學知識的能力，因此受到各級教育工作者的關注. 廣大初中數學教師要從數學思想著手，總結教育教學過程，給學生教授有效的解題思路與解題方法.

[關鍵詞] 圓；確定條件；初中數學；蘇教版

教學分析

（一）教材分析

本節課程內容的主要目標就是幫助學生掌握確定圓的條件，讓學生明白確定圓的條件是不在同一直線上的三點. 如果一個圓過定點，已知它的圓心，那么這個圓的半徑也就是一定的，因此過一點作圓的實質就是確定圓心.

（二）學情分析

1. 在之前的學習中，同學們已經接觸過了圓的相關概念，知道圓心和半徑確定了，圓也就確定了. 除此之外，之前同學們還學習過線段垂直平分線的性質、判定以及畫法，因此在學習圓的確認條件時，同學們是具備相應的知識基礎的. 一方面，想要作一個圓，就需要確定圓心以及半徑，但是很多情況下圓心的分布是沒有規律可循的，學生在解決時可能會出現一定的困難；另一方面，確定圓心的方法是繪制已知兩點所連線段的垂直平分線，通過垂直平分線的交點來確定圓心，在這個過程中部分學生可能無法建立圓與垂直平分線兩者之間的關聯.

2. 在遇到新的情境時，部分學生缺乏必要的思考，找不到解決問題的有效途徑，無法進行有效的思考，缺乏合理猜想，依賴老師給的結論，在課堂活動中缺乏積極性，參與度不高，而不是積極主動地探究.

教學策略

（一）情境創設，引入教學內容

在教學過程中，首先需要通過具體的案例讓學生對圓的確定條件有一個初步的認知. 教師以教材為基礎，通過演繹案例來創設情境，引導學生進行思考與討論. 通過這種教學活動，讓學生對圖形的變化有初步的認識，為之后的講授奠定基礎.

比如，教師可以通過多媒體展示一幅殘缺齒輪的圖片，詢問學生怎樣才能鑄造一個和圖片上同樣大小的圓輪.

（二）引導學生主動思考，積極探究

在傳統的數學教學模式下，教師教學的重點在于利用幾何圖形的既得結論，這雖然能滿足應試需求，卻無法讓學生領悟幾何內容的重要現實意義，很難理解其內涵. 要想改變這種局面，廣大初中數學教師就需要引導學生，提高學生思考及探究的主動性，針對學生的能力水平提高其發現問題、分析問題、溝通交流、解決問題的能力.

（三）培養學生數形結合的思維

數形結合思想指的就是利用幾何圖形來處理代數問題，使得題目的數量關系更為直觀地反映出來，將數字與圖形巧妙地結合起來，在此基礎上尋求解題思路，簡化問題的解決過程.

（四）教學方式多樣化

在新課標的要求下，教師需要科學合理地利用現代化的信息技術手段來輔助教學. 結合蘇教版初中數學教材的特點，教師在設計課程時需要增加師生交流的比重，分層次、目標明確地開展教學活動，切實提高教學質量. 同時，圓的教學需要緊密結合生活實際，將復雜的幾何學習轉化為解決問題的有效工具，提升學生的學習興趣，加深學生對這個知識點的理解和掌握，最終完成教學目標.

教學設計

（一）教學目標

1. 知識點

掌握不在同一條直線上的三個點確定一個圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

2. 能力素養

（1）感受不共線的三個點確定圓的探索過程，培養學生的探索能力；

（2）通過探索不共線的三個點確定一個圓的問題，進一步體會解決數學問題的策略.

3. 情感

（1）形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神；

（2）學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

（二）教學重難點

1. 教學重點

（1）感受不共線的三個點確定一個圓的探索過程，掌握這個結論；

（2）掌握不共線的三個點作圓的方法；

（3）了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

2. 教學難點

感受不共線的三個點確定一個圓的探索過程，并能過不共線的三個點作圓.

（三）教學過程

1. 情境創設，引入新課

（教師）已知一個破損的輪胎，要求在原輪胎的基礎上將輪胎補充完整. 同學們有什么好的想法嗎？

（學生）補充輪胎，實質就是畫一個與原輪胎大小相同的圓，只要確定圓心和半徑就好了.

（教師）在輪胎上很難直接確定圓心，半徑也無法直接獲得. 也就是說，解決了這兩個問題，大家就能把輪胎補充完整了.

[設計意圖]

從初中生的年齡特征、知識水平等現實情況出發，依托生活實際，有效吸引學生注意，激發學生的好奇心與學習興趣，同時培養學生將生活中的問題抽象成數學問題的能力，讓學生明白數學來源于生活.

2. 溫故知新

（教師）同學們回顧一下之前我們是如何確定直線的？

（1）過一點可以作幾條直線？

（2）過幾點可確定一條直線？

引導學生思考：是否也可以利用點來確定圓？

（學生）過一點可以作無數條直線，過兩個已知點可以確定一條直線.

[設計意圖]

通過復習確定直線的條件，啟發學生用類比的方法探索確定圓的條件.

3. 實踐探究

（1）過已知點A，能作幾個圓？

（2）過已知點A，B，能作幾個圓？圓心分布有什么特點？與線段AB有什么關系？

（3）過已知點A，B，C（A，B，C三點不在同一條直線上）如何作圓？能作出幾個圓？

（老師）根據剛才我們的分析可知，作圓的關鍵是確定圓心和半徑，下面請大家互相交換意見并做出解答.

（學生）

（1）要經過一個點A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來，所以以點A以外的任意一點為圓心，以這一點與點A所連的線段為半徑就可以作一個圓，這樣的圓有無數個.

（2）已知點A，B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑，因此圓心到A，B的距離相等. 由線段的垂直平分線的性質可知，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，則圓心應在線段AB的垂直平分線上. 在AB的垂直平分線上任意取一點，都能滿足到A，B兩點的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任取一點都可以作為圓心，這點到A的距離即為半徑，圓就確定下來了，這樣的圓有無數個.

（3）要確定一個圓心，使它到A，B，C三點的距離相等. 因為到A，B兩點距離相等的點的集合是線段AB的垂直平分線，到B、C兩點距離相等的點的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點滿足到A、B、C三點的距離相等，就是所作圓的圓心. 因為兩條直線的交點只有一個，所以只有一個圓心，即只能作出一個滿足條件的圓，作法如下：

[設計意圖]

讓學生繪制已知三點間任意兩點組成直線的垂直平分線，體會圓心的確定過程. 讓學生更為直觀地感受到過已知一點可作無數個圓，過已知兩點也可作無數個圓，過不在同一條直線上的三點可以作一個圓，并且只能作一個圓.

4. 概念補充

經過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫作三角形的外接圓，這個三角形叫這個圓的內接三角形. 外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫作三角形的外心.

5. 教學反思

在本教學案例中，著重引導學生感受不在同一條直線上的三個點確定圓的探索過程以及用到的探索方法，在這個過程中也向學生講解了三角形的外接圓、外心等概念. 在方法選擇上，本案例并不是一味地灌輸數學概念，而是采用引導式教學，讓學生切身感受圓心的確定過程，在對比的過程中，學生也能準確區分已知條件為一個點、兩個點、三個點等不同的情況.