具不變主對角線元矩陣新的特征值包含集

李靜,李耀堂

(云南大學數學與統計學院，云南 昆明 650500)

1 引言

矩陣的特征值定位在許多科學和工程領域中有著廣泛的應用[1-4],是矩陣理論及其應用的重要研究內容.在文獻[5]中作者通過考慮矩陣的結構,給出了一些特殊矩陣類的特征值包含區域,特別是對具不變主對角線元矩陣,即

給出了如下的Gersgorin圓盤集ΓR(A)和Brauer卵型集K(A):

其中

此外,作者還給出了具不變主對角線元矩陣的如下新的特征值包含區域.

定理 1.1[5]設則

其中

(A20)ij為矩陣A20的第(i,j)元素.

文獻[6]中給出具不變主對角線元矩陣非奇異的一個充分條件,由此得到具不變主對角線元矩陣的另一個特征值包含集.

定理1.2[6]設則

其中

文獻[6]中證明了

對于矩陣特征值定位問題,人們總是希望能用盡可能少的計算量得到盡可能精確的特征值包含區域,但目前得到的結果仍遠遠沒有達到人們的期望,因此有必要繼續對其進行探討和研究.本文將繼續研究文獻[6]中給出的具不變主對角線元矩陣非奇異的充分條件,期望能由此得到新的特征值定位集.

2 具不變主對角線元矩陣新的特征值包含集

為下文敘述和證明方便,首先給出一些定義和定理.

定義2.1[7]設A=[aij]∈Cn×n(n≥2),S是N的非空真子集,為S的補集.若

則稱A為S-嚴格對角占優矩陣(簡稱為S-SDD矩陣).

定理 2.1[7]設A=[aij]∈Cn×n(n≥2)為S-SDD矩陣,則A是非奇異的.

定理2.2[7]設A=[aij]∈Cn×n(n≥2),S是N的非空真子集,則

其中

定理2.3[6]設是N的非空真子集若

其中則A是非奇異的.

定理2.4設是N的非空真子集,則

其中對任意的

下面我們比較定理2.3和定理1.1的結論.

定理2.5設是N的非空真子集,則

3 Toeplitz矩陣的特征值包含集

在第二節中得到具不變主對角線元矩陣新的特征值包含集,而Toeplitz矩陣是一類特殊的具不變主對角線元矩陣.下面對Toeplitz矩陣的特征值包含集進行討論.為下文敘述方便,先給出一些定義和定理.

定義 3.1[5]設T=[tij]∈Cn×n(n≥2),如果T具有如下形式:

則稱T為Toeplitz矩陣.

Toeplitz矩陣類是具不變主對角線元矩陣類的一個子類,在諸如信號處理,微分與積分方程,概率論與統計學,馬爾可夫鏈等許多領域都有著重要的應用.文獻[5]中給出了Toeplitz矩陣的一個特征值包含集.

定理 3.1[5]設T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為Toeplitz矩陣且tii=t0,?i∈N,則

其中

文獻[8]進一步給出了Toeplitz矩陣的如下特征值包含集.

定理 3.2[8]設T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為Toeplitz矩陣,tii=t0,?i∈N,則

其中

定理 3.3[8]設T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為Toeplitz矩陣,tii=t0,?i∈N.則

其中同定理3.2,

將定理2.4應用到Toeplitz矩陣,可以得到如下結果.

定理 3.4設T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為Toeplitz矩陣,tii=t0,?i∈N,S是N的非空真子集,

則

其中對任意的

4 數值例子

本節用幾個數值例子對本文所得結果進行說明.

例 4.1考慮下面矩陣(文獻[5]中的A4):

取S={2,4},分別將Gersgorin圓盤定理,Brauer卵型定理,定理1.1和定理2.4應用于矩陣A1,得到A1的特征值包含集ΓR(A1),K(A1),?R(A1)和其包含關系如圖1所示.圖中星號表示矩陣A1的特征值,圖形中的區域從外到內依次表示為ΓR(A1),K(A1),?R(A1)和圖1表明,因此更精確的定位了矩陣A1的特征值.

圖1 S(A1)??R(A1)?K(A1)?ΓR(A1)

例 4.2考慮下面矩陣(文獻[5]中的A3)

取S={2,4},分別將定理2.2,定理1.1和定理2.4應用于矩陣A2,得到A2的特征值包含集CS(A2),?R(A2)和其關系如圖2所示.

圖中星號表示矩陣A2的特征值,圖形中的區域從外到內依次表示為CS(A2),?R(A2)和由圖2知

圖2 S(A2)?CS(A2)

例 4.3考慮例4.1中的矩陣A1(文獻 [5]中的A4).取S={2,4},分別將 Gersgorin圓盤定理,Brauer卵型定理,定理1.1,定理1.2和定理2.4運用到矩陣A1,得到A1的特征值包含集其關系如圖3所示.

圖中星號表示矩陣A1的特征值,圖形中的區域從外到內依次表示為ΓR(A1),K(A1),圖3表明,因此更精確的定位了矩陣A1的特征值.

圖3 S(A1)?(A1)??R(A1)?K(A1)?ΓR(A1)

例 4.4考慮如下的Toeplitz矩陣(文獻[5]中的Q)

取S={1,4},分別將Gersgorin圓盤定理,Brauer卵型定理,定理3.1和定理3.4運用到特矩陣T上,得到T的征值包含集ΓR(T),K(T),?(T)和S(T),其關系如圖4所示.

圖中星號表示矩陣T的特征值,圖形中的區域從外到內依次表示為ΓR(T),K(T),?(T)和圖4表明,因此更精確的定位了矩陣T的特征值.

圖4 S(T)??(T)?K(T)?ΓR(T)

例 4.5考慮例 4.4中的矩陣T.取S={1,4},分別將定理3.1,定理3.2,定理 3.3和定理3.4運用到矩陣T上,得到T的特征值包含集其關系如圖5所示.

圖中星號表示矩陣T的特征值,圖形中的區域從外到內依次表示為?(T),?1(T),從圖中不難發現但

圖5 ?2(T)??1(T)??(T),S(T)??(T)

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