與Euler函數φ(n)有關的非線性方程的正整數解

鄭璐,高麗,郭夢媛

(延安大學數學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)

1 引言

n是一正整數,令φ(n)為Euler函數．Euler函數φ(n)是數論中的一類極其重要函數之一,有關φ(n)方程解的研究可以說是數論研究中的一個極富意義的研究課題之一,引起了不少學者的關注及重視,也得到了一些結論,如文獻[1-6]．

對于形如

的Euler函數φ(n)的線性方程已有很多研究.文獻[7]討論了方程(1)當k為素數的情形,給出了k=3時方程(1)的部分解,而文獻[8]給出了k=3時方程(1)的全部解;文獻[9]給出了k=4時方程(1)的全部解;文獻[10]討論了當k=4,6時方程(1)的各自解;文獻[11]給出了k=5時方程(1)的全部解.

對于形如

的Euler函數φ(n)的非線性方程,文獻[12]討論了當a=7,b=8,c=16的情形時方程(2)的全部解.

本文將討論形如

當a,b,c為勾股數且gcd(a,b,c)=1的Euler函數φ(n)非線性方程的整數解.

2 相關引理[13]

引理2.1對任意正整數m與n,若

引理 2.2對任意正整數m與n,則

引理 2.3當n≥2時,φ(n)

3 定理及其證明

定理3.1方程

無正整數解.

證明設gcd(mn)=d,則φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+.由方程 (4)得

從而有φ(d)=1,5,25.

由引理2.3可得φ(d)=1,d=1,2.

當d=1時,有m1n1?3m1?4n1=25,從而有(m1?4)(n1?3)=37,根據因式與因式的所有可能關系,可以得到(m1,n1)=(5,40),(41,4).此時φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數,即方程(4)無解.

當d=2時,有 2m1n1?3m1?4n1=25,從而有 (m1?2)(2n1?3)=31,根據因式與因式的所有可能關系,可以得到(m1,n1)=(3,17),(33,2).此時φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數,即方程(4)無解.

綜上所述方程(4)無正整數解.

定理3.2方程

無正整數解.

證明設gcd(mn)=d,則φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+.由方程 (5)得

從而有φ(d)=1,13,169.

由引理2.3可得φ(d)=1,d=1,2.

當d=1時,有m1n1?5m1?12n1=25,從而有(m1?12)(n1?5)=229,根據因式與因式的所有可能關系,可以得到 (m1,n1)=(13,234),(241,6),此時φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數,即方程(5)無解.

當d=2時,有2m1n1?5m1?12n1=169,從而有(m1?6)(2n1?5)=199,根據因式與因式的所有可能關系,可以得到(m1,n1)=(7,102),(205,3),此時φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數,即方程(5)無解.

綜上所述方程(5)無正整數解.

定理3.3方程

無正整數解.

證明設gcd(mn)=d,則φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+.由方程 (6)得

從而有φ(d)=1,5,25,125,625.

由引理2.3可得φ(d)=1,d=1,2.

當d=1時,有m1n1?7m1?24n1=625,從而有 (m1?24)(n1?7)=793,根據因式與因式的所有可能關系,可以得到(m1,n1)=(25,801),(817,18),(37,78),(85,30),此時φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數,即方程(6)無解.

當d=2時,有2m1n1?7m1?24n1=625,從而有 (m1?12)(2n1?7)=709,根據因式與因式的所有可能關系,可以得到(m1,n1)=(13,358),(721,4),此時φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個為大于1的奇數,即方程(6)無解.

綜上所述方程(6)無正整數解.

定理 3.4當a,b為任意的一奇一偶,c為任意的奇數,且滿足

時,方程

無正整數解.

證明設gcd(mn)=d,則φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+.由方程 (7)得

從而有φ(d)=1,c,c2.

因為c為任意的奇數,所以c2也為奇數,由引理2.3可得φ(d)=1,d=1,2.

當d=1時,有m1n1?am1?bn1=c2,從而有

假設方程(7)有整數解,則由引理2.3可知φ(m),φ(n)必為偶數,即m1,n1為偶數.因為a,b為任意的一奇一偶,由整除的性質可知,2|m1?b,2-n1?a.即

又c為任意的奇數,所以因此對于(m1?b)(n1?a)=c2+ab,左右矛盾,因此方程(7)無解.

當d=2時,有 2m1n1?am1?bn1=c2,從而有

假設方程(7)有整數解,則由引理2.3可知φ(m),φ(n)必為偶數,即m1,n1為偶數.因為a,b為任意的一奇一偶,由整除的性質可知,即

又c為任意的奇數,所以因此對于

左右矛盾,因此方程(7)無解.

綜上所述方程(7)無正整數解.

4 結論

Euler函數φ(n)是數論中的一個重要函數,關于Euler函數的一些重要性質與之有關的不定方程的正整數解,目前仍是數論中一個重要問題.本文討論形如

的Euler函數φ(n)非線性方程的整數解.給出了當(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)時無正整數解,并證明了當a,b為任意的一奇一偶,c為任意的奇數,且滿足

時,方程無正整數解.

[1]張四保.三類包含Euler函數的方程[J].數學的實踐與認識,2016,44(8):287-291.

[2]張四保,劉啟寬.關于Euler函數一個方程的正整數解[J].東北師大學報(自然科學版),2015,47(3):49-54.

[3]張四保,杜先存.一個包含Euler函數方程的正整數解[J].華中師范大學學報(自然科學版),2015,49(4):497-501.

[4]張文鵬.關于F.Smarandache函數的兩個問題[J].西北大學學報(自然科學版),2008,38(2):173-176.

[5]范盼紅.關于F.Smarandache函數和歐拉函數的三個方程[J].黑龍江大學自然科學學報,2012,29(5):626-628.

[6]Yi Yuan.An equation involving the Euler function and Smarandache function[J].Scientia Magan,2005,1(2):172-175.

[7]Sun Cuifang,Cheng Zhi.Some kind of equations involving Euler functionφ(n)[J].數學研究,2010,43(4):364-369.

[8]張四保.有關Euler函數φ(n)方程的正整數解[J].數學的實踐與認識,2014,44(20):302-305.

[9]許霞,徐小凡.關于歐拉方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整數解 [J].西南師范大學學報 (自然科學版),2015,41(4):6-9.

[10]管春梅,張四保.與Euler函數φ(n)有關的兩個方程[J].數學的實踐與認識,2016,46(9):221-225.

[11]魯偉陽,高麗,王曦浛.有關Euler函數φ(n)的方程的可解性問題[J].江西科學,2016,34(1):15-16.

[12]夏衣旦·莫合德,張四保,熊滿玉.一個有關Euler函數的非線性方程的解[J].首都師范大學學報(自然科學版),2018,39(2):4-7.

[13]Rosen K H.Elementary Number Theory and its Applications[M].5th ed.New Jersey:Pearson Educatin,Inc.,Addison Wesley,2005.