標(biāo)準(zhǔn)模型下基于身份的分等級(jí)加密方案

陳 宇，祁正華，王 翔

(南京郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

基于身份的密碼體制是由Shamir[1]于1984年提出的。在該密碼體制中，用戶(hù)的身份標(biāo)識(shí)符可以看作公鑰，而私鑰由可信中心產(chǎn)生,目的是簡(jiǎn)化密鑰管理。2001年，Boneh和Franklin[2]提出了一個(gè)實(shí)用的基于身份的加密方案(identity-based encryption，IBE)，該方案使用雙線(xiàn)性映射并基于隨機(jī)預(yù)言機(jī)模型證明了安全性，但安全性較弱。在Boneh和Boyen[3]的方案中，第一次提出無(wú)隨機(jī)的構(gòu)造方案，給出了基于BDH假設(shè)的高效IBE，但其為較弱模型(selective-ID模型)。2005年，Waters[4]提出了一個(gè)更高效的IBE，使方案的安全性規(guī)約降低，這是對(duì)Boyen方案的極大改進(jìn)。2006年，Gentry[5]根據(jù)Waters的方案，提出一個(gè)更高效的IBE。此后，基于身份的密碼體制得到了快速發(fā)展。如簽密技術(shù)，文獻(xiàn)[6-8]給出了有關(guān)新的簽密方案。2002年，Horwitz和Lynn[9]提出了IBE的概念，將用戶(hù)身份分配在層次結(jié)構(gòu)中，密鑰生成器(PKG)可以將私鑰生成和身份認(rèn)證委托給子機(jī)構(gòu)。第一個(gè)功能齊全的HIBE方案由Gentry和Silverberg[10]提出并證明是自適應(yīng)身份安全的。

數(shù)據(jù)共享系統(tǒng)中的用戶(hù)數(shù)可能很大[11]，隨著用戶(hù)數(shù)的增加，PKG可能負(fù)擔(dān)不起，HIBE[12]以樹(shù)狀結(jié)構(gòu)組織用戶(hù)[9-10,13-19]來(lái)解決PKG的負(fù)擔(dān)。Seo[12]提出了短密文匿名HIBE，其方案中的密文由4個(gè)群元素組成，不依賴(lài)方案的等級(jí)深度，具有較高的實(shí)用性；但是Seo的方案是基于弱模型[20]證明的，所以文中采用3個(gè)安全素?cái)?shù)，對(duì)不同素?cái)?shù)中的元素構(gòu)造私鑰，生成短的固定密文，并正確解密。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 雙線(xiàn)性對(duì)

輸入安全參數(shù)λ，輸出雙線(xiàn)性組(N,G,GT,e)，階為N=p1p2p3，p1,p2,p3是3個(gè)安全素?cái)?shù)。設(shè)G,GT是一個(gè)階為N的循環(huán)群，g是群G的生成元，稱(chēng)e:G×G→GT是一個(gè)雙線(xiàn)性映射，當(dāng)且僅當(dāng)其滿(mǎn)足以下性質(zhì)。

(2)非退化性：存在一個(gè)元素g∈G，使得e(g,g)在GT中具有N階；

(3)可計(jì)算性：對(duì)于任意的u,v∈G，存在一個(gè)有效的多項(xiàng)式時(shí)間算法來(lái)計(jì)算e(u,v)。

1.2 復(fù)雜性假設(shè)

通過(guò)Katz[21]方案框架證明假設(shè)的安全性，通過(guò)Lewko[17]的新技術(shù)找出N的非平凡因子的困難性。

假設(shè)1：g是Gp1中的生成元，令X3∈Gp3，E1=(g,X3)，T1∈Gp1p2,T2∈Gp1，定義敵手Λ打破假設(shè)1的優(yōu)勢(shì)為：Adv1Λ(λ)=|Pr[Λ(E1,T1)=1]-Pr[Λ(E1,T2)=1]| 。

定義1：若Λ的優(yōu)勢(shì)Adv1Λ(λ)是可忽略的，則假設(shè)1成立。

假設(shè)2：令X1∈Gp1，X2，Y2∈Gp2，X3,Y3∈Gp3，令E2=(g,X1X2,X3,Y2Y3)，T1∈Gp1p2p3，T2∈Gp1p3，定義Λ打破假設(shè)2優(yōu)勢(shì)為：Adv2Λ(λ)=|Pr[Λ(E2,T1)=1]-Pr[Λ(E2,T2)=1]|。

定義2：若Λ的優(yōu)勢(shì)Adv2Λ(λ)是可忽略的，則假設(shè)2成立。

定義3：若Λ的優(yōu)勢(shì)Adv3Λ(λ)是可忽略的，則假設(shè)3成立。

1.3 基于身份的分等級(jí)加密方案的架構(gòu)

一個(gè)HIBE由四種算法構(gòu)成[22]：系統(tǒng)建立、密鑰提取、加密和解密。

系統(tǒng)建立(setup)：輸入安全參數(shù)λ，輸出主密鑰gα和公共參數(shù)PK。

密鑰提取(extract)：輸入用戶(hù)身份向量I及其對(duì)應(yīng)的私鑰SKI,輸出對(duì)應(yīng)私鑰SKI'。

加密(encrypt)：輸入PK、I和消息M，輸出密文。

解密(decrypt)：輸入PK，I的密文和私鑰SKI，輸出明文或不合法判定。

1.4 基于身份的分等級(jí)加密方案的安全模型

文中的安全模型具有抗適應(yīng)性選擇身份(向量集)和選擇明文攻擊(IND-CIVS-CPA)的密文不可區(qū)分性，具體定義如下：

系統(tǒng)建立。挑戰(zhàn)者ζ運(yùn)行建立算法，將PK給Λ并初始化集合S。

階段1：Λ進(jìn)行兩種適應(yīng)性詢(xún)問(wèn)。

密鑰提取。ζ生成用戶(hù)身份IIDi的私鑰SKIDi并將其給Λ。

解密。ζ運(yùn)行密鑰提取算法得到身份IIDi的私鑰SKIDi，用SKIDi解密Λ提交的密文，并將解密后的消息發(fā)給Λ。

挑戰(zhàn)。當(dāng)階段1結(jié)束，Λ輸出兩個(gè)等長(zhǎng)明文消息M0,M1，同時(shí)輸出一個(gè)挑戰(zhàn)身份T*。ζ隨機(jī)選取一個(gè)比特b∈{0,1}，記M0,M1中要加密的明文為Mb，將挑戰(zhàn)密文CT發(fā)送給Λ。

階段2：敵手繼續(xù)進(jìn)行以下詢(xún)問(wèn)。

密鑰提取。設(shè)詢(xún)問(wèn)的身份為IIDk，IIDi≠T*且不能是T*的前一級(jí)。

解密。詢(xún)問(wèn)的密文CT≠CT*。

猜想。Λ輸出一個(gè)猜測(cè)b'∈{0,1}，如果b=b'，則Λ贏(yíng)得游戲。

此游戲中，敵手的優(yōu)勢(shì)定義為：

AdvΛI(xiàn)ND-CIVS-CPA(λ)=|Pr[b=b']-1/2|

定義4：若多項(xiàng)式時(shí)間t內(nèi)，Λ在以上游戲中進(jìn)行了至多qIID次密鑰詢(xún)問(wèn)，其優(yōu)勢(shì)AdvΛI(xiàn)ND-CIVS-CPA(λ)是可忽略的,則稱(chēng)一個(gè)HIBE是(t,qIID)安全的。

Canetti[23]提出將具有抗適應(yīng)性選擇明文攻擊轉(zhuǎn)化為抗適應(yīng)性選擇密文攻擊的方案。Gentry[24]提出一種半靜態(tài)安全，在此概念中，Λ在系統(tǒng)建立前必須先提交一個(gè)身份集合S，Λ無(wú)法查詢(xún)S中任何用戶(hù)的私鑰，但可以攻擊任何目標(biāo)集S'?S。

2 基于身份的分級(jí)加密方案

3 安全性分析

3.1 正確性

正確性證明如下：

3.2 安全性

文中遵循Lewko[17]方案中的證明框架。

定理1：若定義1～3成立，則文中的HIBE具有抗適應(yīng)性選擇明文攻擊安全。

解密：當(dāng)使用標(biāo)準(zhǔn)密鑰或半功能密鑰解密半功能密文時(shí)，解密算法將正確輸出明文消息M，因?yàn)镚p2中添加的元素將由于正交性而被取消。當(dāng)使用半功能密鑰嘗試解密半功能密文時(shí)，盲化因子中將出現(xiàn)附加元素e(g2,g2)xψ(yk-yc)，除非yk=yc概率為1/N。

下面通過(guò)一些游戲來(lái)證明方案的安全性。

GameR：真實(shí)的游戲。

Gamek:假設(shè)Λ在階段1和階段2中能進(jìn)行最大q次密鑰的查詢(xún)，則挑戰(zhàn)密文是半功能的，且返回給敵手Λ的前k個(gè)密鑰也是半功能的，而其他密鑰都是標(biāo)準(zhǔn)的。在Game0中，只有返回的挑戰(zhàn)密文是半功能的；在Gameq中，返回的挑戰(zhàn)密文以及所有的密鑰都是半功能的。

GameF:相同于Gameq，挑戰(zhàn)密文是隨機(jī)消息進(jìn)行加密所得的半功能密文。

引理1：若假設(shè)2成立，則多項(xiàng)式時(shí)間算法無(wú)法以不可忽略的優(yōu)勢(shì)將GameR和GameRT區(qū)分開(kāi)來(lái)。

引理2：若假設(shè)1成立，則多項(xiàng)式時(shí)間算法無(wú)法以不可忽略的優(yōu)勢(shì)將GameRT和Game0區(qū)分開(kāi)來(lái)。

引理3：若假設(shè)2成立，則多項(xiàng)式時(shí)間算法無(wú)法以不可忽略的優(yōu)勢(shì)將Gamek-1和Gamek區(qū)分開(kāi)來(lái)。

引理4：若假設(shè)3成立，則多項(xiàng)式時(shí)間算法無(wú)法以不可忽略的優(yōu)勢(shì)將Gameq和GameF區(qū)分開(kāi)來(lái)。

猜測(cè)：若在Gameq中模擬正確，則CT'是消息Mb對(duì)應(yīng)的半功能密文,Γ輸出T=e(g,g)αs；如果在GameF中模擬正確，則CT'是一個(gè)隨機(jī)加密的半功能密文，Γ輸出T∈GT。因此，若Λ以ε的優(yōu)勢(shì)區(qū)分Gameq和GameF，那么Γ以Adv3Γ(λ)≥ε區(qū)分T的不同可能。

因此，若三個(gè)假設(shè)成立，文中的HIBE是抗選擇明文攻擊安全的。

4 性能分析

效率對(duì)比如表1所示。

表1 HIBE方案效率對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

給出了一種基于身份的分等級(jí)加密方案，該方案中密文的長(zhǎng)度和計(jì)算量都比較低，且密文的大小不依賴(lài)等級(jí)的深度，在標(biāo)準(zhǔn)模型中的3個(gè)靜態(tài)假設(shè)都是有效的，滿(mǎn)足抗適應(yīng)性選擇身份和選擇明文攻擊安全。

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