從兒童代數思維過程看小學數學教學

林琦李雯

“數與代數”作為數學課程四大基本板塊之一，在義務教育階段占據著過半的教學內容。該領域下的算術和代數有著緊密的聯系卻又顯現出巨大的差異：相比起算術，代數具有抽象概括性以及缺乏可供兒童形象思維的模型等特點。而以上特點也導致學生在進入代數領域學習之后，體現出不同的代數思維水平。

一、兒童代數思維的三種類型

兒童代數思維大致可以劃分為三種類型。

1.符號化思維。

符號化思維即把抽象符號當作工具來進行思考的過程，它反映了兒童思維從具體到抽象的過渡，也體現了兒童概括水平的提升。可以說，在符號化的思維指引下，兒童初步具備了符號意識和符號表征能力，更重要的是他們開始利用符號開展思考。

在認數的過程中，兒童的認識最初停留在表面的、具體形象的實物，例如3支鉛筆、3塊橡皮、3本書等，隨后他們能從這些事物中發現并抽取出它們的共同屬性，用數字符號“3”來表示。當數字符號也呈現出有規律的變化時，兒童便能進一步用字母符號“n”來概括。該符號化思維過程充分發展了兒童的數學抽象能力，推動其邁出代數學習的第一步。

但是，兒童的符號化思維還存在不穩定的一面。譬如，雖然兒童對數量關系有了一定把握，但有時還需要具體事物的支撐。1條狗有2只耳朵，2條狗有4只耳朵，而當狗的條數變成x的時候，部分兒童卻會依然選擇用x來表示耳朵的只數，這種符號化結果的偏頗也將對兒童接下去的思維進程產生負面的影響。因此，符號化思維仍然是一種簡單的抽象思維，需要在此基礎上進一步鞏固和發展。

2.關系性思維。

關系性思維是第二類代數思維，指將數學元素之間建立聯結，通過其中的關系開展推理性的思考。處于該水平階段的兒童思維有著兩大鮮明的特點：對數學關系的分析推理以及對等號意義的合理解讀。

首先，兒童不僅能準確地建立數學元素之間的關系，而且可以在此過程中進行靈活地思維。例如，已知 a＜5，b＞5，學生能通過不等號的傳遞性構建兩個不等式間的關聯，思考三個數學元素的大小，得出a＜b，隨后將結論推廣至類似的數學情境。兒童以上行為意味著他們在符號化思維的基礎上取得了巨大進步。其次，等號在數學中具有運算符號和關系符號的雙重意義。當等號作為運算符號時起著連接計算過程和最終結果的作用，扮演著輸出答案的角色，折射出兒童背后的算術思維；當等號作為關系符號時更強調等式左右雙方的等價關系，扮演著恒等變化的中介，代表了兒童的代數思維。故將等號理解為關系符號更有助于學生建立數學元素之間的聯系，進行關系性的思考。

總的來說，關系性思維的發展讓兒童將關注點擴大到數字、符號等之間的交互作用，它為兒童提供了更多的思考空間與可能，也促進其抽象、推理能力的深化。

3.結構性思維。

如果說關系性思維是借助部分數學元素之間的關系進行思考，那么結構性思維就是將這些零散的關系組合成有機的整體，用整體的眼光開展綜合、比較、判斷、推理等活動。結構性思維是一種相對成熟的代數思維，在小學代數學習中顯著的表現便是將數學表達式作為一個整體對象去認識與運算。這在很大程度上依賴于兒童的結構意識，有學者曾指出代數結構意識具體包括：把代數表達式看作一個整體對象；從表達式中看出已知的代數結構；把一個結構拆分為幾個子結構；確定結構之間的關系；針對特殊的結構選擇可能和有效的符號進行操作。例如，對于13+8=12+（ ）的問題，處于符號化思維或關系性思維水平的兒童傾向于通過傳統的程序計算求出結果，即先算得13+8的結果為21，隨后計算21-12得出答案為9。而當兒童擁有結構性思維之后，他們會對表達式結構進行細化，發現左右兩邊均為兩個數學元素相加，且12僅比13小1，依據結構之間的關系，其推斷為了保持等式成立，（ ）中的數必須比8大1，從而得到9。從中可以看出，擁有結構性思維兒童的思考效率和思維水平有了明顯的提升。

至此，兒童的代數思維已發展至一定的高度，他們的思維水平從局限突破到開放，數學能力也表現的更為全面與突出。

二、促進兒童代數思維發展的教學策略

依據兒童代數思維發展的內在邏輯，教師可在教學中從培養學生符號化思維、關系性思維和結構性思維的角度出發開展小學代數的教學，促進學生數學素養的發展。

1.夯實算術基礎，滲透符號意識。

在兒童進入代數領域學習之前，扎實的算術基礎必不可少，但教師需要避免其算術思維過于僵化和刻板。因此，在算術學習過程中，應當強調結果的準確性、過程的多樣性、運算律廣泛的應用性等。例如，在教學24+30+6=（ ）的過程中，可以肯定學生按順序計算的方法，但更應提倡將式子轉化為24+6+30的做法。這樣做的意義不僅在于簡便計算過程，更有利于為加法交換律在代數運算中的推廣做鋪墊。

除此之外，可在算術教學中逐步滲透符號意識，使學生適應代數學習的形式化。“用字母表示數”是小學生開始代數學習的第一課。教師大可不必直奔主題，而是在此之前豐富兒童對數字表征的形式，利用“（ ）、□、●”甚至圖像等多元的表征方式都有利于符號思想的積極內化。不僅如此，教師更要促進兒童使用這些符號去思考、去表達、去交流，增強實際運用能力。

2.關注數量關系，加強等號理解。

教師需要意識到數學中存在著極其豐富的聯系，它們都是發展兒童關系性思維的素材。在兒童從符號化思維邁向關系性思維的同時，首先要加強數量關系方面的訓練。這就要求兒童正確闡釋數量關系、恰當表征，在數學元素變化的過程中理解數量關系的本質。例如，如果兒童能依照青蛙只數和眼睛個數的關系，準確地用2n表示n只青蛙眼睛的個數，那么教師可以進一步把關系雙方轉變為青蛙只數和腿的條數，甚至眼睛個數和腿的條數，充分發揮數量關系對兒童思維的鍛煉作用。

其次，等號背后也蘊含著大量的聯系，但它卻常常是教學中被忽視的重點。在北師大版教材中明確設有“等量關系”一課幫助學生深入理解等號意義之外，少有其他教科書能關注到這一點。對此，教師應當自主挖掘兒童代數思維發展的特點，加強守恒、傳遞等思想的教學。

天平中的恒等變換

天平模型能很好地起到具體化等號功能的作用。比如通過上圖的動態操作過程，學生可以獲知想要使天平保持平衡（等號成立），需要同時增加或減少相同的量，這其中便包含了恒等變換的思想。教學實踐中，利用形如“2+5○3+4”的算式同樣能讓學生在判斷相等的基礎上，進一步思考等號左右兩邊的關系而非關注計算結果。

3.融入代數思想，注重數字等式。

小學數學教學現狀表明當下兒童的代數思維普遍停留在符號化思維與關系性思維，如何進一步發展學生的結構性思維成為了關注的焦點。

根據課程標準的要求，現行小學數學教材主要采取了分散滲透與集中安排相結合的方式編排代數課程內容，大體上可分為早期蘊蓄、逐步過渡、初步學習三個階段進行。這就要求我們盡早在算術學習的過程中融入代數思想的教學。例如，編排“3△+5△=32，△=？；2○=3☆，6☆=□，○與□有什么關系？”等題目，不僅能通過圖像符號滲透未知數的概念，而且有助于培養學生觀察與總結等式結構的能力。

最后，需要充分利用數字等式促進學生形成結構意識。在對類似于“35+13=（ ）+18”問題的解答過程中，教師不應當僅以結果準確性來評判學習成效，相反需要更多地關注學生思維過程。注意選擇多種與代數思維相關的活動，分析和討論學生作業的程序，比較學生間代數思維的相同點和不同點，在此基礎上進行引導與強化。